袁鹤

(吉林师范大学数学学院,吉林四平 136000)

1 引言

设A是代数,若A上的线性映射d满足对于任意a∈A存在导子da:A→A使得d(a)=da(a),则称d是A上的局部导子.Kadison[1]与Larson和Sourour[2]最先开始研究局部导子,他们得到一些特殊的代数上的局部导子是导子.Brešar[3]证明了含有非平凡幂等元的素环上的局部导子是导子.Fošner[4]将Brešar[3]的结果推广到了超代数上.1991年,Brešar[5]给出了环上广义导子的定义:若对于环R上的加法映射g存在R上导子d满足g(xy)=g(x)y+xd(y),x,y∈R,则称g是R上的广义导子.王宇[6]研究了含有非平凡幂等元的素环上的Brešar意义下的局部广义导子.2015年,赵延霞等[7]研究了可换环上上三角矩阵李代数的局部自同构和局部导子.

Nakajima在文献[8]中还引入了另一种广义导子.设A是代数,m∈A,g:A→A是线性映射,如果

则称(g,m)是A上的广义导子.特别地,若A含有单位元1,则m=−g(1).Fošner[9]研究了由幂等元生成的代数上的Nakajima意义下的局部广义(α,β)-导子.

根据Nakajima意义下的广义导子的定义,我们给出了广义超导子和局部广义超导子的定义.证明了具有非平凡幂等元的素超代数上的局部广义超导子均为广义超导子,还给出了广义超导子的一个刻画.

定义1.1设A是超代数且i∈{0,1}.若m∈Ai与i阶线性映射g:A→A满足

则称(g,m)是A上i阶的广义超导子.一个0阶广义超导子与一个1阶广义超导子之和称为A上的广义超导子.

若A含有单位元1,则上述定义中的m=−g(1).显然,g(xy)=g(x0y0)+g(x0y1)+g(x1y0)+g(x1y1),其中x=x0+x1,y=y0+y1.根据环上Brešar意义下的广义导子的定义,本文作者[10]给出了超代数上Brešar意义下的广义超导子的定义.

定义1.2设A是超代数,g:A→A是i阶线性映射,若存在A上i阶的超导子d满足

则……