抓住本质看问题

2018-05-18李代辉

考试周刊 2018年46期

摘要：本文主要探究轴对称图形中的一个应用模型。即：已知直线l外两定点A，B和直线l上一动点P，求|PA±PB|的最值问题。

关键词：轴对称图形；垂直平分线；两定点和定直线上一动点的距离和；最值

轴对称图形的微观体现是关于轴对称的两点的垂直平分线是对称轴，由此开启了轴对称与垂直平分线的紧密联系。在初中垂直平分线的性质（线段垂直平分线上任一点到两端点的距离相等）的应用中，一个突出的应用模型就是已知直线l外两定点A，B和直线l上一动点P，求|PA±PB|的最值问题。所以这个应用模型完全可以移植到轴对称图形中来使用。而初中数学中常见的轴对称图形有等腰三角形、等边三角形、矩形、菱形、正方形、圆、抛物线等。下面举例说明：

例题1已知等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=10，D为斜边AB的中点，连接CD，P為CD上一个动点，E为BC的中点，连接PB，PE，求当P在何处时PB+PE的值最小。

分析：因为等腰三角形三线合一，可知CD为AB的中垂线。由中垂线性质得PB=PA，从而将PB+PE化为了PA+PE，而PA+PE≥AE，从而得解。

解：连接AP，AE。∵AC=BC=10，D为AB的中点，∴CD垂直平分AB，∴AP=PB，∴PB+PE=PA+PE≥AE（当P为CD和AE交点时等号成立）。又∵E为BC中点，∴CE=12BC=5。∵∠C=90°，∴AE=AC2+CE2=55，∴当P为CD和AE交点时，PB+PE有最小值55。

点评：本题还可以有其他变式，将等腰Rt△换成等边△，或者换一个摆放位置，高中的话角C不用90°等。

例题2已知菱形ABCD中，边长为4，∠BCD=60°，E为CD中点，连接AC，P为AC上一动点，求当P在何处时，PD+PE的值最小。

分析：菱形是轴对称图形，对角线是其对称轴，所以PD=PB，从而PD+PE=BP+PE≥BE，从而求解。

解：连接BP，BE，BD。∵菱形ABCD的边长为4，∴BC=CD=4，AC为BD的中垂线，∴BP=PD，∴PD+PE=BP+PE≥BE（当P为AC和BE交点时，等号成立）。∵∠BCD=60°，∴△BCD为等边三角形。∵E为CD中点，∴∠BEC=90°，CE=12CD=2，∴BE=BC2-CE2=23，∴当P为AC和BE交点时，PD+PE的最小值为23。

点评：本题菱形还可以换为矩形和正方形。如果是矩形，其对称轴为中点连线，正方形的对称轴为对角线和中点连线，在实际考查中，对角线的考查更隐蔽，所以考得最多。

例题3如图，已知⊙O的半径为5，A，B为圆上两点，P为直径OD上一动点，∠AOB=∠BOD=30°，求PA+PB的最小值。

分析：因为圆是轴对称图形，其对称轴为直径，所以可以在圆上作出B关于OD对称的点C，从而可得PB=PC，则PA+PB=PA+PC≥AC，从而求解。

解：∵⊙O是轴对称图形，∴作点B关于直径OD对称的点C，连接OC，CP，∴BC的中垂线为OD，∴PC=PB，CD=BD，∴PA+PB=PA+PC≥AC（当P为OD和AC交点时，等号成立）；∵⊙O中，弦CD=BD，∴∠COD=∠BOD。∵∠AOB=∠BOD=30°，∴∠AOC=∠COD+∠AOB+∠BOD=90°，∴AC=OA2+OC2=52，∴当P为OD和AC的交点时，PA+PB的最小值为52。

点评：因为圆的对称轴是直径，所以对称轴众多。本题中直径位置给得很特殊，是水平的，它也可以是竖直，倾斜等一般样式。

例题4如图，在二次函数y=x2-4x+3的图像上，有两个点A（3，0），C（0，3），D为抛物线对称轴上一动点，求：当D在对称轴上何处时，|CD-AD|有最大值，且最大值为多少？

分析：因为抛物线的对称轴为直线a，则在抛物线上作C关于对称轴a对称的点B，从而可得CD=BD，则|CD-AD|=|BD-AD|≤AB，从而求解。

点评：本题考查了两段差的最大值问题，其思路和前面一样。如果将B点坐标作为已知，C点坐标不要，结论为求BD+AD的最大值，则就和前面3个题一样了。

由以上的例题我们可以看出，涉及直线l外两定点A，B和直线l上一动点P，求|PA±PB|的最值问题时，无论它的“马甲”是轴对称图形中的哪一个，其本质都是通过垂直平分线的性质来转化线段的位置后，利用三角形的三边关系求解得最值。

作者简介：

李代辉，四川省德阳市，四川省德阳市旌阳区德阳中学校。