李一帆

导数是高等数学中的重要内容之一，它在自然科学、工程技术等方面都有广泛应用。本文将介绍如何将生活中的有关数学问题转化为相关的导数问题来求解，以此说明导数对实际生活生产的重要性。

1 导数有关的基本内容

1.1导数的定义

设函数 在点 的某邻域内有定义，当自变量 在 处取得增量 时，相应的 取得增量 ；当 时，极限 存在，则称 在点 处可导，并称此极限值为 在点 处的导数，记为 ， ， 。

1.2 常见的导数的定义形式

1.3导函数的定义

如果函数 在开区间 内的每点处都可导，就称 在开区间 内可导。对任意 都对应着 的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，这个函数叫做 的导函数，记作： ， ， 或 ，导函数简称导数。

即

2 导数在实际生活生产中的重要应用

在日常生活、生产中，常常会遇到这样的问题，即求在什么条件下，可以使材料最省、时间最少、效率最高、利润最大等，这些问题通常称为优化问题。通过在谢的情况下，导数是求函数最大（小）值的有力工具。

2.1导数在物理学领域的重要应用

例1 在图1所示的电路中，已知电源的内阻为 ，电动势为 ，外电阻 为多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？

解 电功率 ，其中 为电流強度，则

由 ，解得： 。

分析得，当 时， 取得极大值，且是最大值.最大值为

即：当电阻R等于内电阻 时，电功率最大，最大电功率是 。

2.2导数在几何领域的重要应用

例2 在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图2），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？

解 法一：设箱底边长为 cm，则箱高 cm，可得箱子容积为

令 ，解得 （舍去）， 。

将 代入 得 得箱子的容积为16000cm3。

由题意可知，当 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16000是最大值.。

即当 cm时，箱子容积最大，最大容积是16000 cm3。

法二：此题也可设箱高为 cm，则箱底长为 cm，如图3，

则可得箱子容积为

令 ，解得 （舍去）， 。

将 代入 得 得箱子的容积为16000 cm3。

由题目的两种方法看出，箱子的容积的最大值出现在函数的极值点处。事实上，可导函数 ， 在各自的定义域中都只有一个极值点，如果画出函数图象，即图像只有一个波峰，这个极值点就是最值点，此时不需要考虑端点的函数值。

2.3 导数在经济学领域的重要应用

在实际生产中，如何扩大经济效益，提高生产利润是生产者思考的问题。在经济学中，总利润是指销售 个单位的产品所获得的净收入，即总收益与总成本之差，记 为总利润，则：

（其中 表示销售量）

将 称为平均利润函数。

例3 某工厂生产某种产品，固定成本为2000元，每生产一单位产品，成本增加100元。已知总收益 为年产量 的函数，且

问每年生产多少产品时，总利润最大？此时总利润是多少？

解 由题意总成本函数为：

从而可得利润函数为：

令

所以 时总利润最大，此时 ，即当年产量为300个单位时，总利润最大，此时总利润为25000元。

3 结语

在本文中，介绍了与导数有关的基本内容，并将实际生活生产中的物理问题、几何问题、经济问题以及建筑问题等有关数学问题转化为相关的导数问题来进行求解，以此说明了导数对实际生活生产的重要性。

（作者单位：河南工业和信息化职业学院）