胡义略 冯伟 李敏 李莉 彭张节 罗汉文

摘要： 考虑垂直腔面发射激光器（VCSEL）在稳态时载流子数和光子数关系，改进了工作电流与输出光功率强度（LI）模型的经验公式，利用交替方向乘子法，基于实测数据确定模型的参数.该模型在考虑激光器的偏置电流受激光器温度影响的同时，还考虑了激光器内部参数之间的耦合关系.仿真结果显示，改进后的模型所得参数，代入经验LI模型，在相同算法条件下，和实测数据之间的均方误差值比仅考虑激光器偏置电流受温度影响的LI模型的参数估计方法降低了约1.61 dB.同时，在较高的温度下工作，改进LI曲线工作电流的有效区间更大.

关键词：

垂直腔面发射激光器（VCSEL）； 工作电流与输出光功率强度（LI）模型； 交替方向乘子法

中图分类号： TN 248.4文献标志码： A文章编号： 10005137（2018）02014506

Improved parameter estimation method for LI model of VCSEL

Hu Yilue， Feng Wei， Li Min， Li Li*， Peng Zhangjie， Luo Hanwen

（The College of Information，Mechanical and Electrical Engineering，Shanghai Normal University，Shanghai 200234，China）

Abstract：

Considering carrier number and photon number of vertical cavity surface emitting laser（VCSEL） in steady state，an improved empirical formula of working current and the output light power intensity（LI） model was proposed，which employed the alternating direction method of multipliers algorithm，to determine the empirical model parameters based on measured data.Besides，this model took into account not only the effect of laser temperature on the laser bias current，but also the coupling relationship between the internal parameters of the laser.The simulation results showed that the value of mean square error between the estimated data and measured data was reduced by about 1.61 dB，by employing the same algorithm，using the improved model parameters into empirical LI model than LI model parameters only considering the laser bias current affected by temperature.At the same time，the effective interval of the working current of the improved LI curve was greater when working at a higher temperature.

收稿日期： 20171209

基金项目： 国家自然科学基金青年科学基金（61701307）；上海高校青年教师培养资助计划（ZZssd16044）；上海师范大学校级一般项目（SK201716）

作者简介： 胡义略（1992-），男，硕士研究生，主要从事无线通信方面的研究.Email：13777864206@163.com

导师简介： 李莉（1962-），女，教授，主要从事无线通信方面的研究.Email：lilyxuan@shnu.edu.cn

*通信作者

引用格式： 胡义略，冯伟，李敏，等.垂直腔面发射激光器工作电流-输出光功率强度模型参数估计方法的改进 [J].上海师范大学学报（自然科学版），2018，47（2）：145-150.

Citation format： Hu Y L，Feng W，Li M，et al.Improved parameter estimation method for LI model of VCSEL [J].Journal of Shanghai Normal University （Natural Sciences），2018，47（2）：145-150.

Key words：

vertical cavity surface emitting laser（VCSEL）； working current and the output light power intensity（LI） model； alternating direction method of multipliers algorithm

0引言

在光纤通信传输系统的设计开始之前，科研人员常通过计算机仿真研究系统设计的指标，因此在进行光纤通信系统仿真时，需要准确掌握系统中各个器件的特性，以保证仿真模型的精度.激光器作为光纤通信系统的核心，是系统仿真中需要考虑的一个重要器件，其工作电流与输出光功率强度關系（LI）模型是光纤通信系统设计仿真过程中重要的激光器特性模型之一.

文獻[1]介绍了耦合的垂直腔面发射激光器（VCSEL）的等效电路模型及温度效应，该模型可用于一般目的电路仿真器，研究激光增益谱、空腔谐振模式和载波泄漏电流等在不同偏置条件下的LI特性时，有合理的精度.仿真结果表明，LI特性曲线的阈值特征，如偏置电流值和线性度与温度有关.文献[2]提出了两种连续波测量方法，用于测量激光器平均谐振腔温度和不同结点温度下的LI特性.这两种方法适用于正确地量化阈值电流和差分量子效率的温度依赖性，不需要进行脉冲测量.文献[3]给出了一种简单的基于激光速率方程和失调电流的LI特性模型，利用该模型能完成时域电路仿真，与多种不同类型垂直腔面发射激光器设备的实验数据吻合，但在该模型中没有考虑激光器内部参数之间的耦合影响.

本文作者提出利用激光器内部主要参数之间的耦合关系来对VCSEL特性的数学模型的参数估计方法进行改进.基于VCSEL的实测数据，利用改进的LI模型，选用交替方向乘子（ADMM）算法，进行参数估计，得到更准确的VCSEL经验LI模型参数.最后给出在不同温度下的LI特性曲线，并以给定温度下VCSEL的实测LI数据为参考，与仅考虑VCSEL的阈值温度特性的LI模型进行了比较.

1LI模型

激光器是将电能转换成光能的半导体器件，能量转换的过程也是电子的电能转换为光子的光能的过程，在转换过程中，伴随着电子的运动，半导体器件会产生一定的热量.从能量守恒的角度看，转化为热能的能量越多，器件温度越高，那么转化为光能的能量越少，可以利用的能量就越少.

一个常用VCSEL的LI 模型经验公式及其参数化表达如下[3]：

P0=η（T）（I-Ith（N，T）），（1）

其中P0为激光器输出的光功率，I为激光器的外部驱动电流，η（T）为LI曲线的斜率，对应于转换效率，其值越大，转换效率越高，但受温度影响较小，可以近似于一个常数，Ith（N，T）为与载流子数N和激光器温度T相关的阈值电流.激光器的外部驱动电流超过该值则激光器发光，可表示为[3]：

Ith（N，T）=Ith0+Ioff（T），（2）

其中，Ith0为常数，Ioff（T）是与温度相关的经验热偏置电流，随激光器温度T的变化而变化[4]，可用温度的多项式展开建模[3]

Ioff（T）=∑4n=0anTn，（3）

其中，an为由实测数据所确定的Tn的权重，n为T的指数.

激光器温度T受外界环境温度T0和激光器的发热效应共同影响[5]，而激光器的热效应主要与器件产生的瞬时功率相关，即受激光器电压-电流 （VI）特性影响，在直流条件下，可表示为[3]：

T=T0+（IV-P0）Rth，（4）

其中，Rth为VCSEL热阻抗，与器件的半导体材料和结构有关，本研究中Rth=2.6×103℃/W[3]，T0为环境温度，V为激光器输入电压.

综合（1）～（3） 式，有P0和I的关系：

P0=η（I-Ith0-a0-a1T-a2T2-a3T3-a4T4）.（5）

由（4），（5） 式，消去P0，移项后可得

Ioff（T）=[a0+a1T+a2T2+a3T3+a4T4]=（I-Ith0）-1/ηIV-T-T0Rth，（6）

其中，当激光器稳定时，激光器功率P0=IV，激光器的温度T=T0，因此根据室温T0=20 ℃下由对VCSEL的I、P0的实测数据可知Ioff（T0），并利用最小二乘法，由 （6） 式可求得参数η[·]=0.26 W/A，Ith0=0.3×10-3A.

2改进模型的分析与验证

2.1模型改进

基于（5） 式，利用实测的激光器P、I、V数据进行参数a0、a1、a2、a3、a4的估计，所得的参数估计值仅反映了激光器温度对其阈值电流的影响.更加符合激光器LI实际特性的仿真模型，不仅要考虑激光器温度对其阈值电流的影响，也应考虑光子数转化为光功率的效率k、光子寿命τp、增益系数G0、载流子复合寿命τn、透明载流子数N0、增益压缩因子ε等主要参数综合影响的结果[6]，以得到光功率和输入电流之间更接近实际的特性关系.

根据激光器速率方程[7]，在稳态下工作时，激光器中的光子数

Ss=η（I-Ith0-Ioff（T））/q-Ns/τnG0（Ns-N0），（7）

其中电子电量q=1.6×10-19 C，N0为透明载流子数，Ns为稳态载流子数.

针对（7）式设中间变量

I^=（I-Ith0-Ioff（T））q，（8）

则

Ss=ηG0（Ns-N0）I^-NsG0τn（Ns-N0）.（9）

由激光器速率方程[7]，在稳态下工作时，激光器中的载流子数

Ns=k+εP0G0kτp+N0.（10）

代入（9）式可得：

Ss=kητpk+εP0I^-1G0τn-kN0τp（k+εP0）τn.（11）

将Ss=P0/k代入式（11）：

1k2τpηP0（k+εP0）+1kητpG0τn（k+εP0）+N0τnη=I^.（12）

化简P0和I的函数关系：

qεk2τpηP20+q（ε+G0τn）kτpηG0τnP0+q（G0N0P0+1）τpηG0τn=I-Ith0-a0-a1T-a2T2-a3T3-a4T4.（13）

令

B=qεk2τpη，（14）

C=q（ε+G0τn）kτpηG0τn，（15）

D=q（G0N0P0+1）τpηG0τn，（16）

则

BP20+CP0+D+Ith0+a0+a1T+a2T2+a3T3+a4T4=I，B>0，C>0，D>0.（17）

基于（17） 式，由给定环境温度T0=20 ℃下 P0、I、V的实际测量数据，可得到参数B、C、D、a0、a1、a2、a3、a4的估计值，其中参量a0、a1、a2、a3、a4的估计值，不仅包含了激光器温度对其阈值电流的影响，也包含了对激光器主要参数的综合影响.为此，令

E=D+Ith0，（18）

则

（P20P011TT2T3T4）BCEa0a1a2a3a4=I，（19）

扩展为基于N组实测数据模型的形式：

P21P111T1T21T31T41

P22P211T2T22T32T42

P2NPN11TNT2NT3NT4N

BCEa0a1a2a3a4=I1I2IN，（20）

其中，Ii为实测外部驱动电流，Pi为实测光功率；对应的激光器温度Ti是由实测Vi、Ii、Pi，根据（4）式计算得出.令

A=

P21P111T1T21T31T41

P22P211T2T22T32T42

P2NPN11TNT2NT3NT4N

，（21）

b=（I1I2…IN）T，（22）

x=（BCEa0a1a2a3a4）T，（23）

建立误差最小化的优化问题：

minimize Ax-b22.（24）

利用ADMM[8]算法迭代求解该优化问题，得出除考虑激光器阈值电流受激光器温度的影响，还考虑激光器材料、结构参数等综合影响的改进LI模型参数x的估计值.

2.2利用改进模型进行参数估计

利用ADMM迭代求解（24）式优化问题后，得到参数B、C、E、a0、a1、a2、a3、a4的估计值，其中，参量a0、a1、a2、a3、a4的估计值分别为：0，3.86679×10-1，-2.9510×10-5，7.0265×10-6，-4.8055×10-9.

将参数a0、a1、a2、a3、a4及分析（6）式所得的参数η=0.26 W/A，Ith0=0.3×10-3 A代入（5）式，得到综合考虑VCSEL 阈值电流温度特性和主要半导体材料特性的半经验LI模型.

根据改进模型所得参数和 （5）式可以得到T0=20 ℃时VCSEL的LI模型曲線，对实测数据的拟合效果如图1所示.经计算，基于经验LI模型参数估计方法得到的模型曲线与实测数据之间的均方误差（MSE）为-43.9713 dB.而基于改进后模型的参数估计方法，在相同算法条件下，得到的模型曲线与实测数据之间的均方误差为-45.5835 dB，比原有模型降低了约1.61 dB.

图2展示了9种不同环境温度下VCSEL 的LI模型仿真曲线.图2表明，当环境温度T0为10～70 ℃时，改进的特性曲线与经验模型[3]相似；而当环境温度T0为80、90 ℃时，使特性曲线光功率大于0的电流范围更大.这表明，在高温环境下工作时，如果使用改进的方法来预测LI特性曲线，器件外部驱动电流工作区间会更广.

3总结

针对VCSEL的LI经验公式，提出了一种利用激光器稳态输出功率方程构建的改进模型.在该模型中，考虑了载流子数、载流子复合寿命等参数对输出功率的影响.仿真结果显示，改进后LI模型曲线和实测数据之间的均方误差值比仅考虑激光器偏置电流受激光器温度影响的LI模型曲线，在相同算法条件下降低了约1.61 dB，且能在其他环境温度下更好地建模.

本研究仅考虑了激光器温度、主要结构参数对输入电流的影响，忽略了温度对于激光器电压的影响，会导致误差的产生，从而影响模型的精度.

参考文献：

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[5]Fatt Y S.Thermal effects in InAs/GaAs quantum dot vertical cavity surface emitting lasers [C].Proceedings of the 10th IEEE International Conference on Semiconductor Electronics，Kuala Lumpur：IEEE，2012.

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[8]Boyd S，Parikh N，Chu E，et al.Distributed optimization and statistical learning via the alternating direction method of multipliers [J].Foundations and Trends in Machine Learning，2011，3（1）：1-122.

（责任编辑：包震宇，顾浩然）