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浅析类比的思想方法在高等数学教学中的应用

2018-05-14赵轩

丝路视野 2018年17期
关键词:科研创新偶然性

【摘要】类比思维主要指的是在进行研究的过程中,对新的研究、认识对象开展联想,对与其相似的已被认知的对象进行探究,并结合新对象与已被认知对象之间的相似属性,推断新对象其他属性,从而发现新对象发展规律的一种思维活动模式。显然,与其他的研究方法想象比,类比思维对新对象的研究结果具备一定的偶然性,存在三种研究结果,即正确、错误或不完全正确。

【关键词】偶然性;科研创新;多元方程

由于类比整个思维活动的过程主要以联想为基础,以两种事物之间的相似性为研究指导,将猜想的结果作为结论,并以发现新事物的最终发展规律为类比目的,因此整个思维过程是一个完整的推想活动。无论取得的实际研究结果如何,都为自然、物理、数学等学科的科学认识项目提供了一种富有创意与生命力的思维方式,因此,部分专家将类比的思维称为“通过已被认知事物通向未知的道路”。

一、类比思维活动的性质及其主要作用

(一)类比思维过程的灵活性与偶然性

相较于其他新对象的研究方法,类比法的联想过程具备灵活性与偶然性。在科学的实践探索过程中,经常会面临多种假设,需要进行选择,而类比思维在进行未知事物检验的过程中能够提供一种重要的思维活动方式。以物理学的学科研究为例,科学家在进行电荷作用规律的研究过程中,面临的选择多样,如两个不同位置电荷之间的作用力大小与其位置距离之间是否存在关系?若存在关系,是正比关系、反比关系、立方反比关系还是平方反比关系?科学家在研究的过程中运用类比思维,推断不同电荷之间作用力关系与万有引力规律可能存在相关性,选择了平方反比进行作用力研究。在进行力学系统具体研究的过程中,类比生物系统的发展规律,取得了较为良好的实践效果。在此基础上,现阶段人们利用力学系统类比推想社会经济系统,对经济的发展提供了有效的参考。

(二)在数学研究领域运用类比思想的主要作用

类比作为一种思维研究方式,是进行科研创新的重要基础之一。可以说,类比实验、思维、研究活动是科学研究中作为常见的推想模式之一,加强了不同学科研究成果的发现概率。巧妙的类比推想还可以对研究的正确方向做出预示,往往能够取得较为显著的科研成果。康德认为,当理智没有可靠的思考方向时,使用类比的思维方法,往往会为人们指引前进的道路。著名的数学研究学家波利亚将一般化以及特殊化与类比并称为获取研究灵感的源泉。伟大的科学研究学家牛顿通过苹果落地的启示,将其类比成物体向地面下落、两个物体移动的力学规律,最终提出了万有引力的力学定律。

与此同时,在数学学科的研究过程中,类比思维是数学概念、定理、公式以及法则的重要研究途径,也是进行假设、猜想与创新的主要手段。如,笛卡儿以联想为基础,通过类比思维建立起了解析几何体系。他偶然间观察蜘蛛网的网格,产生了相关的联想,蜘蛛网由纵横交错的经纬线组成,而蜘蛛通过经纬线交错的网可以到達蜘蛛网的任意位置。在此基础之上,他运用类比思维,使用线条,平行线与垂直线相互交错构成坐标网,建立起了以平面为基础的点同有序数对之间的关系网,从而形成了直角坐标系。在数学领域,直线通常代表点的运动,因此,坐标点的位置也可以用数字表示变量。笛卡尔解析几何理念的提出,不仅开创了几何领域的研究新方向,还将变量引进到几何坐标中,为深入研究圆锥曲线、二元二次方程等数学原理提供了基础。

二、运用类比思想解决数学问题的具体案例

(一)类比思维在数学解题中的应用

当遇到一个数学题目时,首先应该考虑运用什么方式解决问题,也就是寻找正确的解题思路。将类比思想运用到解题过程中,不仅可以尽快的寻找到解决问题的路径,还能进一步提升解题的准确性。以不同维空间的题目为例,对类比思维的实际运用进行分析。如果想要在数轴上对一个点列不收敛的结果进行证明,首先要找到一个发散子列;其次,找到两个收敛子列,子列的极限不同。证明高维空间中相似的点列,也可以使用类似的解题思路,只需要在证明过程中注意叙述的区别。与此同时,线性代数领域,二元、三元进行方程组解题过程中,有相应的公式法,可以以此推断出多元的方程解题思路,即克莱姆法则。

除此之外,二元一次数学问题的解题方法还有消元法,通过类比思维能够得出多元线性的解题思路。遇到高维向量的相关空间题目,一般是通过类比三维、二维空间的解题思路得到相应的启示。数学分析过程中,通过格林公式可以解决平面上第二型曲线积分类型的题目,由此延伸到空间中的封闭曲线题目。

(二)下面通过具体的数学例题,对类比法的实际运用进行说明

2.条件、结论或结构相似的题目类比寻找解题思路

在遇到数学问题时,我们往往会对题目中的条件、结构以及相关结论进行联想,寻找正确的解题路径,下面通过具体数学案例予以说明:

例1:如果函数f(x)能够满足常数c的要求,可以成立任意实数x等式f(x+c)=1+f(x)/1-f(x),判定f(x)是否属于周期函数,如果属于周期函数,则求f(x)的函数周期。

分析:函数周期中我们最常接触的是三角函数,在解题过程中,可以运用类比思维,tan(x+π/4)=1+tanx/1-tanx,假设f(x)是4c周期函数,运用三角函数的相关原理对f(x)的周期进行验证。

三、结语

在数学研究与解题领域,类比思维方式起着不可替代的思路指向作用,为研究活动及解题提供了更多的选择。在此基础上,本文从类比思想的性质与重要作用等角度出发,通过实际例题分析,对一维到多维空间、离散及连续等数学问题的具体解题思路进行探讨,以期类比思维的实际运用提供合理参考。

参考文献

[1]张谋,魏曙光,易正俊.高等数学教学思想的渗透[J].高等理科教育,2015(03).

[3]王霞,夏国坤.高等数学中的数学思想的范例教学[J].大学数学,2013(12).

[4]同济大学数学系.高等数学(下册)7版[M].北京:高等教育出版社,2014.

作者简介:赵轩(1981.02—),女,河南驻马店人,讲师,研究方向:数学教学与研究。

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