摘要：介绍了局部有限维的介绍了局部有限维的Hopf π-代数上π-H-模代数的对偶是Hopf π-余代数上π-■-余模余代数.在此基础上，讨论π-H-模代数的单侧π-H-模理想与π-■-余模余代数的单侧π-■-余模余理想之间的对偶关系.

关键词：π-H-模代数；π-■-余模余代数；π-H-模左（右）理想；π-■-余模左（右）余理想

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）12-0209-03

近年来，弱化意义下Hopf代數越来越受到人们的欢迎，出现很多推广形式，如分次Hopf代数、弱Hopf代数和Hopf群余代数等2000年Turaev于2000年引进了Hopf π-余代数，构造出π-范畴，并得出了产生3维同伦量子场理论在Hopf π-余代数的基础上，Virelizer构造出3维流形上主π-丛的Hennings-like与Kuperberg-like不变量在文献[1]中作者得到了Hopf π-子余代数的对偶是Hopf π-代数H■的一个Hopf π-理想在本文中，笔者先介绍π-H-模代数的对偶是π-■-余模余代数，在此基础上进一步证明了π-H-模代数的单侧π-H-模理想与π-■-余模余代数的单侧π-■-余模余理想之间的对偶关系.

本文中设k为一个域，所有的空间都是k上向量空间，所有的（余）代数均指k上（余）代数.π是一个乘法群，其单位元为1.A？茚■B写成A？茚B，本文中其他概念和记号见文献[2-3].

定义1 假定H=（H■，Δ■，ε■■，m■■，u，S■■）是一个Hopf π-代数，A={A■，

m′■，u′■}■是一簇代数.若赋予一簇k上线性映射η■=η■■：A■？茚H■→A■■，且使得下列条件成立：（1）（A，η）是一个π-H-模；（2）η■■（m′■？茚id■）=m′■η■■，？坌α，β∈π；（3）u′■η■■=η■■（u′■？茚id■），？坌α，β∈π，其中η■■：k？茚H■→k，η■■（1■？茚h）=ε■（h），？坌h∈H■.则称A=（A■■，m′，u′，η=η■■■）为π-H-模代数.

定义2 设■=（■■，m■，u■■，Δ■■，ε，■■■）是一个Hopf π-余代数，C={C■，Δ′■，ε′■}■是一簇余代数，其中余代数C■的余乘法为Δ′■（c）=∑c■？茚c■∈C■？茚C■，？坌c∈C■，α∈π.若存在一簇k上线性映射ρ=ρ■：C■→C■？茚■■■使得下列条件成立：（1）C=（C■■，ρ=ρ■■■）是一个π-■-余模；（2）ρ■■Δ′■=（Δ′■？茚id■）ρ■■，？坌α，β∈π，∑（c■）■？茚（c■）■？茚（c■）■（c■）■=∑（c■）■？茚（c■）■？茚c■，？坌c∈C■；（3）ρ■■ε′■=（ε′■？茚id■）ρ■■，？坌α，β∈π，其中，ρ■■：k→k？茚■■，ρ■■（1■）=1■？茚1■，则称C=（C■■，Δ′，ε′，ρ=ρ■■■）为π-■-余模余代数.

注：两个π-■-余模张量积C？茚C={C■？茚C■}■还是一个π-■-余模，其余模作用结构映射为ρ■■：

C■？茚C■→C■？茚C■？茚H■，ρ■■（c？茚d）=∑c■？茚

d■？茚c■d■，？坌c，d∈C■，？坌α，β∈π.

令Hopfπ-代数H上的π-模（U，η）=（U■■，η■■）.记U■=U■■■，U■■={所有的k上线性映射f：U■→k}，其中U■■为U■的对偶空间.模结构映射η■：U■？茚H■→U■，还可定义一簇k上线性映射■=■■=η■■：U■■→U■■？茚H■■■.令（A，η）=（A■，m■■，u■■■，η■■）是一个π-H-模代数。其对偶空间可定义为A■■，k上线性映射■■■=（m■■）■：A■■→A■■？茚A■■，和■■■=（u■■）■■，于是有如下的结论.

引理1 设H=（H■，Δ■，ε■■，m■■，u，S■■）为Hopf π-代数，（A，η）=（A■，m■■，u■■■，η■■）是π-H-模代数.则其对偶空间（A*，■）=（A■*，■■■，■■■■■，■■■）是π-H*-余模余代数.

定义3 H=（H■，Δ■，ε■■，m■■，u，S■■）为Hopf π-代数，（A，η）为π-H-模代数.若满足：I=I■：I■？哿A■■是A的一簇右（左）理想（即每个I■都是代数A■的右（左）理想，？坌α∈π），且I是A的一个π-H-子模，即：满足η■（I■？茚H■）？哿I■（

η■（H■？茚I■）？哿I■），？坌α，β∈π，则称I是A的一个π-H-模右（左）理想。

定义4 设■=（■■，m■，u■■，Δ■■，ε，■■■）为Hopf π-余代数，（C，ρ）为π-■-余模余代数.若满足：J=J■：J■？哿C■■为C的一簇右（左）余理想（即每个J■都是余代数C■的右（左）余理想，？坌α∈π），且J是C的一个π-■-子余模，即：满足ρ■（J■）？哿J■？茚■■（ρ■（J■）？哿H■？茚■■），？坌α，β∈π，则称J是C的一个π-■-余模右（左）余理想.

引理2 设H为Hopf π-代数，（A，η）为π-H-模代数，若J={J■：J■？哿A■}■是（A，η）的一个π-H-模左（右）理想，则J■=J■■■是（A■，■）的一个π-H■-余模左（右）余理想.

证明：题目仅证J={J■：J■？哿A■}■是（A，η）的一个π-H-模右理想.而对于J={J■：J■？哿A■}■是（A，η）的一个π-H-模左理想类似可得证.

由题意可得J■是A■的子空间，可令映射：i=

i■■，其中i■：J■→A■为嵌入映射于是η■（i■■？茚id■）=i■■η■，即i=i■■■为π-H-模同态。考虑另一簇线性映射i■=i■■■，其中i■■：A■■→J■■为其的对偶映射，则对任意的α，β∈π，a∈A■■，h∈H■■，f∈

A■■，有<（i■■？茚id■）■■（f），a？茚h>=

id■）（a？茚h）>==<■■i■■（f），a？茚h>所以（i■■？茚id■）■■=■■i■■，于是i■=i■■■为π-H■-余模同态。

又由于J■■=f∈U■■|=0，？坌j∈J■，且keri■■={n∈A■■|=0，？坌j■∈J■}，即J■■=keri■■.又因為（i■■？茚id■）■■（J■■）=■■i■■（J■■）=0，所以■■（J■■）？哿ker（i■■？茚id■）.而ker（i■■？茚id■）=keri■■？茚H■■+A■■？茚kerid■=keri■■？茚H■■=J■■？茚H■■，即■■（J■■）？哿J■■？茚H■■，即J■是（A■，■）的一个π-H■-余模右余理想.

引理3 设H为Hopf π-代数，（A，η）为π-H-模代数，若J={J■：J■？哿A■■}■是（A■，■）的一个π-H■-余模左（右）余理想，则J■=J■■■是（A，η）的一个π-H-模左（右）理想.

证明：类似引理2可证得.

定理4 设H为Hopf π-代数，（A，η）为π-H-模代数，则J={J■：J■？哿A■}■是（A，η）的一个π-H-模左（右）理想当且仅当J■=J■■■是（A■，■）的一个π-H■-余模左（右）余理想.

证明：由引理2，引理3可得证。

参考文献：

[1]衡美芹，孙建华.Hopf π-余代数与 π-子余代数 [J].纯粹与应用数学，2009，25（4）：706-710.

[2]VIRELIZER A. Hopf group-coalgebras [J]. J Pure Algebra，2002，171：75-122.

[3]赵士银.单侧π-理想[J].山东理工大学学报，2012，26（2）：

[4] 孙建华，苏航贇.-余模代数与-张量积[J].扬州大学学报， 2010，13（1）：1-5.

[5] 衡美芹，孙建华. 模代数的模理想[J].数学的实践与认识，2015，45（10）：238-244.

Unilateral Module Ideal

HENG Mei-qin

（Department of Mathematics，Suqian College，Suqian，Jiangsu 223800，China）

Abstract：Let H be a local finite dimensional Hopf π-algebra，we show that the dual spaces of a π-H-module algebra is a π-■-comodule coalgebra. The perfect duality between unilateral π-H-module ideal of π-H-module algebra and unilateral π-■-comodule coideal of π-■-comodule coalgebra was obtained on this basis.

Key words：π-H-module algebra； π-■-comodule coalgebra； π-H-moduleleft （right） ideal；π-■-comodule left （right） coideal