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一种改进的吸引域估计的方法

2018-05-11金德泉禹磊

科技视界 2018年6期

金德泉 禹磊

【摘 要】在考察具有渐近稳定平衡点的非线性动力系统的时候, 其吸引域范围是判断系统稳定性的一类重要指标.利用最优Lyapunovh函数法, 可以得到一大类非线性动力系统所对应的Lyapunov函数, 并利用该函数对吸引域范围进行估计. 基于最优最优Lyapunov函数, 通过对原吸引域估计方法进行改进, 可以显著提高估计的准确性, 得到更好估计结果, 并通过数值实验证明了这一点。

【关键词】渐近稳定平衡点;吸引域;迭代扩展法

中图分类号: O175 文献标识码: A 文章编号:2095-2457(2018)06-0187-002

【Abstract】When investigating the property of nonlinear dynamical system which has asymptotically equilibrium point, the range of its corresponding attractive domain is an important indicator for system stability. By using optimal Lyapunov function approach, the corresponding Lyapunov function can be obtained for large part of nonlinear dynamical systems, which can be used to estimate the range of attraction domain. On basis of optimal Lyapunov function, the original approach for estimating attraction is improved, which effectively increases the estimating accuracy to obtain better estimating result. Numerical Examples are given to show this.

【Key words】Asymptotically stable equilibrium point;Attraction domain;Iterative expansion Approach

0 引言

对于一般的非线性系统而言, 确定平衡点的吸引域的范围是一个具有相当难度的问题, 也是非线性自治系统研究和应用中的一个重要问题[1-4]。最早关于非线性系统吸引域问题的讨论可以追溯到Barbashin和Krasovskii, 以及Zubov等人的工作[5]. 1985年S Balint提出了最优Lyapunov函数的概念[6], 并于1986年对这种最优Lyapunov函数的逼近的方法[7]. 基于这些工作, 2005年Kaslik E, Balint A和Balint S详细的给出了一种对最优Lyapunov函数进行近似的迭代逼近方法[8], 得到了一个新的Lyapunov函数, 并将其用于近似非线性系统的吸引域范围. 这些工作的成果称为最优Lyapunov函数法. 因为最优Lyapunov函数法对系统的具体形式没有太多的限制, 因此非线性系统吸引域估计的研究领域一个重要的成果.

基于一种Lyapunov函数迭代方式, 本文给出一种用于估计具有渐近稳定平衡点的非线性动力系统吸引域范围的新方法, 称为迭代扩展法. 理论证明和数值实验表明了这种方法在吸引域估计中的可行性和有效性. 数值实验的结果表明, 由迭代扩展法得到的吸引域的近似结果要比最优Lyapunov函数法得到的结果要好.

1 非线性系统稳定性的最优Lyapunov函数法

考虑如下具有一般形式的系统

其中D→Rn是将连通开集D?奂Rn映到 的局部Lipschitz映射.不失一般性,设x=0为系统(1)的平衡点, 即f(0)=0.

用于估计非线性系统吸引域的方法中,如基于Lyapunov稳定性定理的Lyapunov直接方法, 以及基于LaSalle定理的判断集合正向不变性从而找到吸引域的近似的方法等. 这些方法都依赖于系统的Lyapunov函数, 且近似的效果好坏在很大程度上也依赖于Lyapunov函数自身的性质好坏. 而构造Lyapunov函数是一个很困難的问题, 基本上所有的构造方法, 包括能量函数法和变量梯度法等, 都只是适用于某类具有特定具体形式的系统, 而没有一个普遍的系统化的方法, 更不要说构造一个“好”的Lyapunov函数.

2005年, Kaslik E, Balint A和Balint S在他们的文献[8]中提出了一种构造Lyapunov函数的新的方法.这种方法只对系统场函数的光滑性和平衡点处系统的Jacobi矩阵有一定的要求, 而不像大多数方法那样需要对系统的具体形式加以限制. 这在非线性系统领域是一个很大的突破, 具有很高的理论和应用价值.

定理1(见[8]中定理8)如果场函数f实解析且它在原点的Jacobi矩阵的特征值实部为负,定义实解析函数V的自然解析域为Rn中满足

3 结论

本文给出了一种用于非线性系统渐近稳定平衡点吸引域估计的改进的最优Lyapunov函数法. 该方法继承了最优Lyapunov函数法使用范围广的优点, 可以用于一大类非线性系统的吸引域估计. 同时, 通过对最优Lyapunov函数法进行改进, 取消了原本需要将估计范围限制在某个圆(或球)内限制, 从而提高了吸引域估计的精度, 扩展了方法的使用范围.

【参考文献】

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[4]Jin D,Huang Z, Peng J. Approximation on attraction domain of Cohen-Grossberg neural networks[J]. Applied Mathematics and Computation, 2011, 21(217): 8747-8753.

[5]Hassan K. Nolinear Systems[M].New York: Prentice Hall, 1996.

[6]Balint S. Considerations concerning the maneuvering of physical systems[J]. An. Univ. Timisoara, 1985, 23(1):8-16.

[7]Balint S, Negru V, Balint A, et al. The optimal Lyapunov function in diagonalizable case[J]. An. Univ.Timisoara, 1986, 24(1):1-7.

[8]Kaslik E, Balint A and Balint S.Methods for determination and approximation of the attraction domain[J].Nonlinear Analysis, 2005, 60(4):703-717.