张娜娜， 刘金培，2， 王 珍**， 宋静淼， 杨宏伟

(1. 安徽大学 商学院， 合肥 230601； 2.北卡罗莱纳州立大学 工业与系统工程系， 美国 罗利 27695)

0 引 言

在专家决策过程中，常常将备选方案进行两两比较，并给出相应的偏好关系.在面对复杂问题时，由于问题的复杂性和专家认知的不确定性，通常不能给出精确的偏好关系矩阵.1986年，Atanassov提出了直觉模糊集的概念[1]，直觉模糊集不但包含了隶属度信息和非隶属度信息，而且加入了犹豫度，更具适用性.Xu[2]在直觉模糊集的基础上，给出直觉模糊偏好关系的定义.近年来，关于直觉模糊信息的决策问题已经成为人们研究的热点[1-6].

文献[3]在现有研究的基础上，拓展形成了区间直觉模糊环境下的Theil不等系数，同时加入决策者的乐观系数，提出一种连续区间直觉模糊环境下的Theil(C-IVIFT)测度.当决策者面对复杂多样的问题，用直觉模糊信息来表示自己的偏好时，往往给出的直觉模糊信息不具有完全一致性.因此，文献[4-6]针对直觉模糊偏好关系中一致性的调整或改进进行了相关研究.胡玉龙[4]等人基于单个专家决策矩阵和群决策矩阵，提出了自适应迭代算法，反复修正专家给出的评价矩阵.Xu和Xia[5]采用逐步逼近的方式，提出了一种收敛迭代算法，可以对任意的直觉模糊偏好关系进行调整，逼近一致性的直觉模糊偏好关系.文献[6]则指出在检查直觉模糊判断矩阵的一致性基础上，需针对不一致的偏好矩阵进行修复，同时给出一个自动算法，可以提高直觉偏好关系的一致性水平.

可以看出当直觉模糊偏好关系不具有一致性时，人们通常对其进行调整或改进.这些调整方法虽然改进了偏好关系的一致性，然而却改变了专家给出的原始评价信息，容易造成信息的损失，使得排序结果可信度较弱.此外，文献[7]通过建立DEA模型实现了对实数乘性偏好关系的排序.Wang等[8]通过建立DEA/AR模型克服了原模型中偏好信息不能充分利用的缺陷.但是，如何建立恰当的DEA模型，解决直觉模糊偏好关系的排序问题，还有待进一步探讨.已有研究表明，交叉效率DEA模型通过决策单元间的交互评价，一定程度上克服了传统DEA中极端权重的出现和不能完全排序的发生.

在此基础上，本文针对直觉模糊偏好关系排序问题，提出一种基于交叉效率DEA和目标规划的直觉模糊排序向量计算方法.首先，提出直觉模糊偏好关系导出矩阵的定义，在此基础上构建仁慈型交叉效率DEA模型，提出排序向量隶属度求解算法.接着，考虑到隶属度和非隶属度的关联，构建目标规划模型，获取各方案的非隶属度.本文提出的方法不需要进行一致性调整，决策信息的损失能够得到有效避免，具有较好的可行性和适用性.

1 直觉模糊偏好关系相关理论

设X={x1，x2，…，xn}为方案集，第i个决策方案用xi表示，i=1，2，…，n.当专家评价决策单元时，将方案两两对比，给出偏好关系矩阵P=(pij)n×n.

定义1[2]若方案集X上的偏好关系矩阵为P=(pij)n×n，满足

pij>0；pijpji=1；pii=1；i，j=1，2，…，n

(1)

其中方案xi相对于方案xj的重要性程度用pij表示，则称P=(pij)n×n为乘性偏好关系或互反判断矩阵.若乘性偏好关系矩阵P满足

pikpkj=pij；i，j，k=1，2，…，n

(2)

则称P满足完全一致性.

为了更好地刻画信息的不确定性，直觉模糊集的概念被提出[9-10].

定义2[9]称论域X上的集合A={(x，μA(x)，νA(x))，x∈X}为一个直觉模糊集，其中μA(x)：X→[0，1]和νA(x)：X→[0，1]分别表示元素x属于集合A的隶属度和非隶属度.同时，对于∀x∈X，满足

0≤μA(x)+νA(x)≤1

记πA(x)=1-μA(x)-νA(x)为直觉模糊集A中元素x的犹豫度.对于论域中给定的值x∈X，(μA(x)，νA(x))也被称为一个直觉模糊数.一般的，用α=(μα，να)表示一个直觉模糊数，μ，ν∈[0，1]，且μ+ν≤1.

定义3[11]若α=(μα，να)为直觉模糊数，那么S(α)=μα-να称为α的得分函数，H(α)=μα+να为α的精确度函数，显然S(α)∈[-1， 1]且H(α)∈[0， 1].

基于得分函数和精确度函数，对于任意两个直觉模糊数α=(μα，να)和β=(μβ，νβ)，有如下直觉模糊数的比较规则：

(1) 若S(α)>S(β)，则α>β；

(2) 若S(α)=S(β)，则

若H(α)>H(β)，则α>β；

若H(α)=H(β)，则α=β.

直觉模糊偏好关系是对普通偏好关系的拓展，包含隶属度、非隶属度和犹豫度.因此，当信息具有较大的模糊性以及不确定性时，分别从3个角度描述专家的评价信息，具有更强的灵活性与实用性.

0≤μij+vij≤1，μij=vji

μii=vii=0.5；i，j=1，2，…，n

(3)

其中μij表示方案xi优于xj的程度，νij表示方案xi劣于xj的程度，πij=1-μij-νij表示不确定程度.

μij·μjk·μki=νij·νjk·νki

i，j，k=1，2，…，n

(4)

μij·μjk·μki=μik·μkj·μji

i，j，k=1，2，…，n

(5)

i=1，2，…，n

(6)

(7)

为了有效提取直觉模糊偏好关系的信息，提出如下导出函数的定义：

(8)

定义7的导出函数，能够将直觉模糊偏好关系映射为实数型的判断矩阵.进一步，有如下定理：

μij·μjk·μki=νij·νjk·νki

i，j，k=1，2，…，n

(9)

(10)

所以，P=(pij)n×n也满足一致性.证毕.

定理1说明了通过导出函数f，满足乘性一致性的直觉模糊偏好关系可以被映射为完全一致性乘性偏好关系矩阵.可以看出导出函数在将直觉模糊偏好关系转换成传统数值型的乘性偏好关系同时，既能保证评价信息的可靠性，又可避免决策信息的损失.

2 排序方法

为了对直觉模糊偏好关系进行排序，分别建立交叉效率DEA模型和目标规划模型，并提出排序向量的隶属度和非隶属度算法.

2.1 基于交叉效率DEA的排序向量隶属度求解算法

表1 基于P=(pij)n×n的DEA投入产出表Table 1 DEA input and output table based on p=(pij)n×n

首先，由表1建立基于投入的DEA模型，从相对效率角度来对决策单元DMUp(方案xp)进行评价，其相对效率得分为θpp(p=1，2，…，n)：

然而当直觉模糊偏好关系不具有一致性时，传统的DEA模型可能出现多个方案的效率得分相同的情况.为此，建立交叉效率DEA模型，进行决策单元之间相互评价，将自评价和他评价的均值作为决策单元的最终效率评价值[13-15].在模型式(11)基础上，建立如下的仁慈型交叉效率DEA模型：

(12)

(13)

将最终交叉效率值归一化处理，得到隶属度排序向量，即

(14)

2.2 基于目标规划的排序向量非隶属度的求解

(15)

(16)

根据排序向量的排序，得到各个方案的排序结果.

3 算例分析

近年来，随着生活条件的快速改善，人们资产占有总额的不断积累，对个体储蓄的保护甚至增值等需求日益增加，因此投资行业迎来了它前所未有的时期.如何将资金集中投放，从而获得较大规模的收益，这对众多投资公司来说既是机遇又是挑战.现有一家投资公司想在最好的工业部门投资一笔钱，目前有5种行业方案可供选择，分别为汽车工业(x1)、食品工业(x2)、计算机工业(x3)、武器工业(x4)和旅游业(x5).

为更好地服务股东利益，投资专家根据自己的经验和认识，给出5个备选方案的直觉模糊偏好关系矩阵如下：

根据本文提出的基于交叉效率DEA的直觉模糊偏好关系隶属度求解算法，利用Matlab编程，计算出偏好关系排序向量隶属度为

根据2.2节提出的排序算法计算步骤，进一步可得：

a12=1.691 1，a13=2.029 7，a14=2.157 2

a15=2.273 4，a23=2.297 1，a24=2.265 5

a25=2.080 9，a34=2.198 3，a35=2.230 6

a45=2.331 2

进一步，根据式(17)，建立目标规划模型如下：

4 结束语

对于直觉模糊偏好关系，本文将每个方案视为决策单元，提出一种新的基于交叉效率DEA和目标规划的排序方法.首先，定义了直觉模糊偏好关系导出矩阵，在此基础上提出基于交叉效率DEA的直觉模糊偏好关系隶属度求解算法，该算法实现了决策方案的交叉评价，具有较高的分辨率.其次，在求得各方案排序向量隶属度的基础上，建立目标规划模型，求得直觉模糊偏好关系各方案的非隶属度，进而得到最终的排序向量.本文提出的方法不需要对偏好矩阵进行一致性调整，提出了一种基于交叉效率DEA的直觉模糊偏好关系排序框架，决策信息的损失能够得到有效避免，具有较好的可信度和广泛的适用性.

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