祖 璇， 汪 峰

(1.安徽师范大学 皖江学院，安徽 芜湖 241008； 2.安徽大学 数学科学学院，合肥 230601)

0 引 言

自从Molodtsov[1]在1999年首次提出软集的概念以来，它就以处理问题的灵活性、细致性和宽泛性而获得了很大发展.目前，许多学者已经将软集理论与模糊集理论相结合成模糊软集，由于模糊软集理论克服了传统的不确定理论固有的局限性，近年来正以强大的生命力不断发展.AJI P K在文献[2]中给出了模糊软集的定义并讨论了它的性质，同时还研究了软集上的几种运算.文献[3,4]将软集与模糊集、粗糙集相结合，提出模糊软集、粗糙软集等概念.文献[6]推广文献[5]的结果到模糊集上，给出模糊软集的矩阵表示，并讨论它的一些运算和性质.文献[7]将模糊软集理论运用到在确定指标权重中.ROY A R等在文献[8,9]中首次将模糊软集应用到决策中，并结合粗糙集理论进行知识约简.文献[10]主要讨论模糊软集的新运算，研究模糊区间软集、区间值模糊软集和软粗糙模糊集及其在决策中的应用.Feng Feng等[11-14]分别将软集推广到模糊软集、直觉模糊软集和区间型直觉模糊软集上，通过设定阈值向量构造水平软集，将其转化为经典软集来处理.在此基础上，文献[15]动态地分析实际问题，在模糊软集中引入时间参数，将静态的一般模糊软集推广到时序模糊软集，然后结合构造水平软集的方法进行决策.

随着研究问题的深入，针对模糊集，发现有时其隶属度仍表现出模糊性使得很难用一个精确的数值来表示，这时经典的模糊集已经无法去刻画实际问题的多重模糊性，为了增强对现实问题模糊性的描述和处理不确定性的能力，1975年，Zadeh[16]提出二型模糊集合的概念，将集合元素的隶属度模糊化，形成集合的双重模糊.此后，国际上越来越多的学者投身于该领域的研究，Karnik等[17]构建了比较完整的二型模糊集理论.目前，国内对该理论的研究还比较少.

本文先介绍二型模糊集的概念，尝试用二型模糊集来描述有些问题的双重模糊性.由本文的例1知，用二型模糊集刻画实际问题虽然深刻合理，但由于二型模糊集结构的复杂性，对它的处理比一般的模糊集要困难很多，一般只能用它对具体问题进行概括和描述而很难研究它们之间的关系及运算，这就大大限制了研究二型模糊集的可能性.因此需转换思路，将二型模糊集转化成熟悉的模糊结构，把模糊化的隶属函数变为普通意义上有限论域上的模糊子集，因此规定它的次隶属函数恒为1.这样就避免了次隶属度函数的选取，使集合计算大大简化，研究它们的性质就相对容易，以它为基础，接着引出了本文重点讨论的广义模糊软集.广义模糊软集实质上是将各个参数下初始论域中每个元素的隶属度值模糊化成另一论域上的一型模糊集.通过例2发现，这样的广义模糊软集在实际生活中确有它的意义所在，因此具有一定的研究价值.

1 预备知识

定义1[1]设论域U是一个非空的有限集，E是一个参数集，A⊆E,P(U)是U的幂集.若映射F:A→P(U),则称(F,A)为U上的软集.

定义2[18]设论域U是一个非空的有限集，E是一个参数集，A⊆E,F(U)是U的模糊集全体(模糊幂集).若映射F:A→F(U), 则称(F,A)为U上的模糊软集.

定义3[19]设(F,A)与(G,B)为论域U上的两个模糊软集，若

(1)A⊆B;

(2)∀e∈A,F(e)是G(e)的模糊子集.

则称(F,A)是(G,B)的模糊软子集，记作(F,A)⊆(G,B).

定义4[18]设(F,A)与(G,B)为论域U上的两个模糊软集，令：

C=A∪B
∀e∈C

则称(H,C)=(F,A)∪(G,B)为模糊软集(F,A)与(G,B)的并集.

定义5[18]设(F,A)与(G,B)为论域U上的两个模糊软集，令C=A∩B, ∀e∈C,H(e)=F(e)∩G(e),则称(H,C)=(F,A)∩(G,B)为模糊软集(F,A)与(G,B)的交集.

定义6[20]设A,B∈F(U)，则模糊子集A∪B,A∩B,Ac分别定义为

∀x∈U

A∪B,A∩B分别称为U上的模糊子集A与B的并集与交集，Ac称为A的补集.另外，A⊆B⟺A(x)≤B(x),∀x∈U.

定义7[21]设(F,A)为论域U上的模糊软集，记(F,A)的补(F,A)c=(Fc,A),其中映射Fc:A→F(U)且∀e∈A,Fc(e)是U上的模糊子集F(e)的补集.

注：本文的所有定义均是在有限集上讨论.

2 广义模糊软集

在定义广义模糊软集之前，先介绍二型模糊集的概念.

二型模糊集对于模糊现象的刻画更为深刻，也更加接近于实际情形，但对其的处理比一般的模糊集要复杂得多[22].因此，下面主要探讨一类较为简单的二型模糊情形.

需要注意：

(1) 本文只研究离散型的二型模糊集，对于连续型的二型模糊集，当所有的次隶属度都为1时，它就变成区间二型模糊集.

(2) 下文所讨论的所有广义模糊软集的初始论域均为U,U中每个元素的隶属模糊集的论域均为X且U={u1,u2,…,um},X={x1,x2,…,xp}, 参数集E={e1,e2,…,en}.

(1)A⊆B;

C=A∪B

∀ej∈C

定理1-5的证明与普通模糊软集的证明方式完全一致，故证明部分略去.

3 广义模糊软矩阵

其中

容易验证广义模糊软矩阵对幂等律、交换律、结合律、吸收律、分配律、0-1律、还原律和对偶律均成立，即

由于广义模糊软矩阵中的每个元素均是X上的模糊子集，而模糊集都满足以上8条定律，因此显然有定理7-定理14成立.

4 应用举例

5 结束语

软集合理论作为处理不确定性和不精确性问题的一种新型数学工具，目前已得到快速发展[23]，在诸多领域被广泛使用.本文在二型模糊集的基础上，对模糊软集进行推广，通过实例可以看到，这种推广是有实际价值的.广义模糊软集的实质是将每一个参数之下初始论域中元素的隶属度模糊化，在模糊软集的基础上增加一维模糊性，相当于软集的二重模糊.因此在利用它做决策时，最终是要解每个隶属度的模糊化，把它降为一型模糊软集，然后就可以利用一型模糊软集的处理手段进行决策.去模糊的实质是降型，而降型是去模糊的扩展.在本文最后的实例中，采用的是求平均值的降型方法，实际上降型还有很多方法，如Centroid, Center-of-sums, Height, Modified Height, Center-of-sets等，每一种降型方法，都会有相应的去模糊方法.由于篇幅所限，这里就不一一赘述了.在后续的研究中，若能够将这些方法与广义模糊软集结合起来，就能把软集合理论应用到更广泛的领域和更复杂的问题中.

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