刘树勇，位秀雷，王 基，杨庆超

（海军工程大学 动力工程学院，武汉，430033）

对非线性隔振系统进行反馈控制的目的是通过实时调整参数改变系统的动力学特征，从而使系统处于所需要达到的工作状态，目前国内外学者已经开展了大量的研究。Ji等研究了参数激励Duffing系统在反馈控制时的动力学特性，结果表明系统平凡解对应的参数区可以扩大，当采用合适反馈控制时，可以使系统的不连续分岔转换为连续分岔，并消除系统中的突跳现象[1]。Xu等研究了Duffing系统在位移延迟反馈控制条件下，通向混沌的两种途径，即倍周期分岔和环面破裂[2]。Attilio Maccari研究了Van der Pol-Duffing系统在位移和速度延时反馈条件下的主共振响应[3]，应用渐进摄动（asymptotic perturbation）法推导了系统主共振响应时的幅值和相位解析表达式。Kakmeni等则研究了双频激励时的Duffing-Van der Pol振子中的混沌控制[4]；Li等在研究中，发现该系统耦合的非线性反馈控制可以通过解耦的非线性反馈控制来代替[5]。此外，还有一些研究表明合理的延时反馈将使得系统产生有效阻尼并被大量应用于各种悬挂系统的主动控制。S.Chatterjee等研究了非线性机械振动系统中的加速度延迟反馈控制方法，发现具有延时的加速度反馈可能影响被控制系统的阻尼特性[6]。该方法可用于控制受迫Duffing振子的主共振和1/3次谐波共振。在连续系统控制方面，Khaled等对于系统在参数激励条件下梁的延迟主动控制进行了研究，包括三种非线性延迟反馈控制即位移、速度和加速度的三次方延迟反馈。同时，应用多尺度方法推导了控制梁的具有非线性动力学特性的运动方程，并应用这些方程研究了延迟对系统稳定性、幅值和频响特性的影响。结果表明，即使是非常小的延迟，也能改变参数激励梁的稳定性并产生一些奇怪的动力学行为[7]。

然而，由于高维非线性系统中既存在各自由度之间的耦合，又存在非线性模态之间能量的传递，因而分析和计算的难度比低维系统急剧增加[8-10]。从研究的文献来看，目前对多自由度非线性隔振系统在反馈控制条件下幅频特性以及系统动力学特征的控制规律研究很鲜见。本文建立了两自由度非线性振动系统的无量纲动力学模型，并推导了系统幅频特性曲线近似解析表达式，得到系统在不同反馈控制增益条件下幅频特性曲线的变化特征，从而为非线性振动的控制奠定基础。

1 非线性隔振系统反馈控制模型

非线性隔振系统的模型如图1所示，包括上下层质量块M1和M2、加速度传感器、上层弹簧元件，其线性刚度为K1，非线性刚度为U1，下层弹簧元件刚度为K2；上下层质量块的振动位移分别为X1、X2，激励力的幅值为F，激励频率为Ω。作动器安装在上下层质量块之间。在主动控制过程中采用上层速度反馈控制，因此有

图1 非线性隔振系统反馈控制图

应用力学分析方法，得到系统的振动方程为

为了便于分析，进行如下坐标变换

其中X1、X2为自由伸长状态时的振动位移；Y1、Y2为弹簧压缩后相对系统平衡位置状态的振动位移；Δi是位移差（i=1,2）。代入式（1）得到

2 系统非线性幅频特性

为了计算方便，令式（3）中y1-y2=x1，因此得到

设系统的解分别为

将式(5)代入式（4）后，出现了 cosωt和 sinωt的高次项，由于在消除永年项的过程中，通常针对于cosωt和sinωt的一次项系数进行运算，因此略去高阶项的运算，得到

将系统的响应向正弦函数和余弦函数构成的基上进行投影，可以得到

令式(9)中的三角函数项系数为零以消除永期项

将式(12)、式(13)代入式(8)后消除永年项得到

为了使式(8)恒成立，令式中常数项为零，并略去系数c10的高阶项得到

为了便于计算幅频关系，令

a1,1=cos[ρ]A1,b1,1=sin[ρ]A1，其中ρ为振动响应中的相位角，将上述公式代入式(14)和式(15)中，结合三角函数恒等式关系，可求得A1-ω幅频关系。

3 仿真结果

3.1 无反馈时的两自由度非线性振动系统

当系统参数的取值为μ=0.2，ξ1=0.1，k1=1，μ=0.2，ξ1=0.1，k1=1，η=3，k2=5，ξ2=0.2，f=12 ，反馈控制参数较小时k=0，得到两自由度非线性隔振系统的幅频特性曲线，如图2所示。

图2 反馈控制增益对系统幅频特性曲线的影响

从图中可以看出，在两自由度条件下，系统的幅频特性曲线具有两个峰值。第二个共振峰发生明显的弯曲，即发生共振频率转移现象。幅值和频率之间不是简单的线性关系。这种系统的另一个特点是可以主动避开共振，一旦由于共振使振幅增大时，系统的共振频率就发生转移，使得共振减弱。

3.2 反馈增益变化时的幅频曲线

当系统的参数取值为μ=0.2，ξ1=0.1，k1=1，η=3，k2=5，ξ2=0.2，f=12，反馈控制参数较小时k=0.5，系统的幅频曲线如图2所示。和系统无反馈控制情况相比较，可以看出曲线的外部轮廓没有发生变化；但振动峰值已经明显降低。由原来11.6降低为5.5。振动的反馈控制已效果明显。当反馈控制增益增加为1.0时，系统的第二共振峰进一步减小，而第一共振峰保持不变，如图3所示。当反馈控制增益为2.0时，第二共振峰开始消失。从物理意义上来说，速度反馈将使得大幅值振动现象得到抑制。

3.3 系统的混沌振动

(1)反馈控制参数不同时的Lyapunov指数曲线

根据前面的分析可知，系统呈现出明显的非线性特征。如果系统处于非线性混沌参数区域，将产生混沌振动。由于Lyapunov指数是判断系统是否处于混沌的重要指标，根据不同的参数可以计算出系统的Lyapunov指数谱，从而为混沌识别提供依据。

当系统中μ=0.2，ξ1=0.1，k1=1，η=3，k2=5，ξ2=0.2，f=12 ，反馈控制参数k=0.2，1.0，2.0和2.5时，系统的Lyapunov指数曲线如图3所示。

从图中可以看出，当反馈控制增益参数值较小时，随着激励频率在0.1～14范围内变化，系统最大Lyapunov指数曲线大于零的区间比较密集，如图3(a)所示，表明系统存在较宽的混沌振动参数区。随着反馈控制增益的增加，最大Lyapunov指数大于零的区间逐渐稀疏，特别是在图3(d)中，由于反馈控制的作用，系统在大部分参数区间中最大Lyapunov指数小于零，表明系统从混沌态被控制到周期运动状态。

(2)系统的混沌吸引子

根据图3的计算结果，选取系统的参数为：μ=0.2，ξ1=0.1，k1=1，η=3，k2=5，ξ2=0.2，f=12反馈控制参数为k=0.2和2.5，激励频率为3.85时，系统的相图如图4所示。

从图4(a)、图4(b)中可以看出，系统处于混沌振动状态，相图为奇怪吸引子；从图4(c)、图4(d)中可以看出系统处于周期振动状态，相图为极限环。因此，在不同控制条件下，系统将呈现出不同的非线性动力学行为。

4 实验研究

4.1 试验台组成

试验装置主要包括带偏心质量块的电机、电源控制柜、作动器、双层隔振平台、光滑导轨、加速度传感器、数据采集系统、数据输出系统、功率放大器；软件部分包括LabVIEW信号采集程序、MATLAB数据分析处理程序。主要仪器如表1所示。

表1 实验仪器

4.2 实验数据分析

调整控制箱右电机旋扭使得偏心块产生的激励频率为13.67时，未施加主动控制的系统的时域响应和频谱特征如图5所示。可以看到基频、2倍和3倍频峰值。实施主动控制后系统的响应特征如图6所示。

从图5(b)、图6(b)中可以看出，下层振动加速度幅值有显著降低。从图5(d)、图6(d)的频谱图来看，有控制时的频谱峰值比无控制时下降27.5 dB，证明了控制方法的有效性。

图3 不同反馈控制参数条件下Lyapunov指数谱曲线

图4 NVIS系统的混沌和周期吸引子

5 结语

图5 主动控制前系统的响应特征

图6 主动控制后系统的响应特征

通过建立两自由度速度反馈控制非线性振动系统数学模型，推导系统在反馈控制条件下幅频特性近似解析表达式，得到振动系统的幅频特性曲线。研究了系统结构参数和反馈增益对幅频特性曲线的影响，观察到幅频特性曲线上的共振峰及其舌状结构，这体现了系统中的共振频率转移现象和多幅值特性。随着反馈增益增加，共振峰骨架曲线左移，幅值降低直至消失。这反映了在该控制过程反馈对大幅值响应的抑制。计算了系统Lyapunov指数谱随结构参数变化的曲线，得到系统混沌控制的参数范围。实验研究表明，系统出现基频和超谐波响应，通过控制可以使得线谱成分得到有效降低，从而为非线性振动系统控制提供有益参考。

参考文献：

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[2]XU J,CHUNG W K.Effects of time delayed position feedback on a van der Pol-Duffing oscillators[J].Physica D,2003,180:17-39.

[3]MACCARI ATTILIO.Vibration amplitude control for a van der Pol-Duffing oscillator with time delay[J].Journal of Sound and Vibration,2008,(317):20-29.

[4]KAKMENI F M M,BOWONG S,CHAWOUA C T,et al.Strange attractors and chaos control in a Duffing-van der Poloscillatorwith two externalperiodic forces[J].Journal of Sound and Vibration,2004(277):783-799.

[5]LI X,JI J C,HANSEN C H,et al.The response of a Duffing-van der Pol oscillator under delayed feedback control[J].Journal of Sound and Vibration,2006(291):644-655.

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[10]袁德强，赵荣珍.基于LLTSA的转子故障数据集降维方法[J].噪声与振动控制，2014，34(5)：150-155.