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函数概念及其定义域的求解分析

2018-05-09张延利

科学与财富 2018年8期
关键词:定义域表达式函数

摘 要:函数作为高等数学教学内容中的基础部分,在整个数学知识点中占有重要地位。同时,也是后续专业课中数学知识的基石。特别是复合函数定义域的求解,历来是专升本考试中的必考内容。在学习过程中应在理解概念的基础上,根据具体问题,分门别类的对函数进行分析,达到融会贯通的目的。

关键词:函数;定义域;表达式

1 函数的定义域

对于给定的非空实数集D,若存在一个对应法则f,使得对于D内的每一个数值x都有唯一的数值y与其对应,则这个对应法则f称为定义在集合D上的一个函数,D称为函数的定义域。记y=f(x),称x为自变量,y为因变量。

函数必需具备上述两个基本条件后,才能称之为函数。若一个式子为y=x+2,没有定义域,则该式子仅仅是一个y与x间的数学表达式,不能认为是一个函数。

求函数的定义域时应遵守以下条件:

(1) 分式中分母不能为零;

(2) 偶次根式内式子非负;

(3) 对数中真数大于零;

(4) 反正弦、余弦函数的自变量的绝对值不能大于零;

(5) 正切函数的自变量不能等于 ;余切函数的自变量不能等于kπ;

(6) 多个函数代数和的定义域,为各函数定义域的公共部分;

(7) 对于实际问题的表达式定义域,应保证自变量取值符合实际意义。

注意:定义域的表示形式为:集合或者是区间。

例1 求函数 的定义域。

解 因lnx≥0,则x≥1,所以,函数定义域为{x│x≥1}。

例2 求函数 的定义域。

解 因sinx≠0,则x≠kπ,k∈Z; 有意义,则-1≤x≤1。

所以,函数定义域为{x│-1≤x<0或0

例3 已知函数f(x)的定义域为[2,4],求函数f(x-1)的定义域。

解 因f(x)的定义域为[2,4],则f(x-1)中(x-1) ∈[2,4],记2≤x-1≤4。所以,3≤x≤5。函數定义域为[3,5]。

2 函数的表达式

对于函数表达式的求解常用到三种形式:

(1)已知函数f(x)和g(x)的表达式,求f[g(x)]的表达式;

(2)已知f[g(x)]和g(x)的表达式,求f(x)的表达式;

(3)已知f[g(x)]和f(x)的表达式,求g(x)的表达式。

例3 设f(x)=2x,g(x)=sinx,求f[g(x)]。

解 代入法,f[g(x)]=2(xinx)=2sinx。

例4 设f(x+1)=x2+x+3,求f(x)。

解 令t=x+1,则x=t-1,将x带入到原表达式,有f(t)=(t-1)2+(t-1)+3,

得到f(t)=t2-t+3。再令,t=x,有f(x)=x2-x+3。

例5 设f[g(x)]=x2,f(x)=x+1,求g(x)。

解 在f(x)=x+1中,令x=g(x),将x带入到f(x)=x+1,有x2=g(x)+1,

所以,g(x)=x2-1。

3 两个函数相同的判定

若两个函数相同则要满足以下两个条件同时成立:

1)定义域相同;

2)对应法则相同。

若定义域与对应法则这两个条件中只要有一个不同,函数就不同。

例7 判定函数f(x)=2inx,g(x)=inx2是否相同。

解 方法:判定两个函数定义域是否完全相同。

(1)因f(x)的定义域为:{x│x>0};g(x)的定义域为:{x│x≠0}。

因为,两个函数定义域不相同,则f(x)与g(x)不是同一个函数。

例8 判定函数f(x)=2x, 是否相同。

解 方法:判定两个函数对应法则是否完全相同。

(1)因f(x)的定义域为:(-∞,+ ∞);g(x)的定义域为:(-∞,+ ∞)。

(2)因g(x)的表达式可以进行化简,变为: 。

根据(1),(2)可知,虽然两个函数定义域相同,但是当x<0时,g(x)=-2x,f(x)=2x。两个函数的表达式不同,意味着当x<0时,f(x)=2x,

的对

应法则不一样,说明两个函数不相同。

注意:例1与例2中,均可采用特殊值法用于判定函数是否相同。对于两个例题均可取x=-1。分别求解f(-1),g(-1)。通过两个值函数值可以判定,两个函数不相同。

例9 判定函数f(x)=1,g(x)=sin2x+cos2x是否相同。

解 方法:判定两个函数定义域与对应法则是否完全相同。

(1)因f(x)的定义域为:(-∞,+ ∞);g(x)的定义域为:(-∞,+ ∞)。

(2)因g(x)的表达式可以进行化简,变为:g(x)=1。

因此,两个函数的定义域与对应法则均相同,说明两个函数为同一函数。

4 总结

对应法则和定义域是函数的概念重要因素,也是函数求解的关键。对于函数的定义域的求解应采用“从内到外”的方法,逐层求解。而多个函数的代数和形式的定义域则层次分别求解,最终取交集的方法。函数的表达式应针对三种不同形式的问题,分门别类进行对应化简,得到答案。

参考文献:

[1] 叶永春,朱勤.高等数学及应用[M].北京:北京大学出版社,2014.

[2] 同济大学数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2010.

[3] 熊庆如.高等数学[M].西安:西安交通出版社,2015.

[4] 陈广生.高职院校《高等数学》课堂教学最优化研究[J].大众科技,2010,(12).

作者简介:

张延利(1980.9-),男,山东莱芜人,硕士,讲师,从事高等数学教学。

基金项目: 泸州职业技术学院2015年度院级教改项目(JG-201504);泸州市职业教育研究中心2016年度研究课题(LZJY-2016-18)

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