徐连弟

（浙江省仙居县第二中学）

德国数学家大卫·希尔伯特认为，数学知识是一个不可分割的有机整体，它的生命力取决于各部分之间的联系；尽管数学知识内容千差万别，但在整个数学中有着同样的逻辑工具，概念存在亲缘关系，不同部分之间有许多相似之处.数学知识之间存在紧密的、多维的、复杂的结构关系，各种概念、命题、法则在一定范围内由某些数学关系将其联结，形成外显的知识网络体系，即数学知识结构.

数学学习是建立和完善个体数学认知结构的过程，数学认知结构就是学生头脑中的知识被学生按照自己理解的深度和广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构.认知结构的建立是学习新知识的前提，同时又是新知识学习后的结果，优良的认知结构有利于知识的合理表征和贮存，有利于知识的提取和迁移，可以促进学习者加深对数学的理解和灵活应用数学知识.数学认知结构是由数学知识结构转化而来的，学习者将数学知识结构内化在头脑中，形成个体的认知结构.可见，在数学教学活动中，知识结构起到了不可或缺的作用，是数学教学活动的支撑点.师生唯有建立起整体的数学观和思维方式，把握知识之间存在的内在的、本质的联系，建构起知识结构，才能开展有效教学活动.

现行的初中数学教材，采用螺旋式编排方式，将整体的数学知识分解成不同单元，安排在不同的学段和不同的年级.由于教学通常是以一节节“课”为单位来组织展开的，于是教材又将单元整体知识划分成一个个知识点，以“点”为单位按知识点的难易程度来编排教学内容，在“课”的时间单位进行知识“点”的教学.这种以“点”为单位的教材编排方式，使原本具有丰富内在关联的知识，变成了以“点”为单位的符号系统，容易使教师只围绕和关注这个“点”来思考，认识不到“点”背后存在的知识整体之间的结构关系，忽视知识形成和发展过程中的逻辑关系，在教学中不注意处理好知识整体与一节节课局部之间的关系，也就难以帮助学生把握知识之间的内在关联，以及形成和发展过程，并了解知识的整体结构背景，不利于学生对整体的综合学科知识的掌握.

数学知识结构的认识，是指立足整体数学观，从学生学习数学活动出发，着眼于有利于促进数学知识结构转化为认知结构的视角，揭示教材以“点”为单位的数学知识之间存在的内在的、本质的、多维的结构关系，不等同于作为学科体系的数学知识结构和作为科学体系的数学知识结构.同样，也不等同于以往对数学知识结构的表面理解.例如，把知识结构仅仅理解为教材编排体系中知识学习的前后顺序；把知识结构理解为新知识学习、新知识巩固、新知识应用的一般教学程序；把知识结构局限于某一知识点内部的结构关系；把知识结构单纯理解为一章节学习结束后的知识整理等.数学知识结构的认识是对数学知识内在基本结构的深度把握，揭示繁杂的知识点背后存在的不变性——相同结构，既有时空间维度的知识结构认识，包括知识横向之间的联系，纵向之间的联系，以及纵横之间的交融，又有基于数学学科特点、数学知识形成过程、数学知识学习方法等结构性认识，从而以整体数学知识结构来安排和开展数学教学活动.

一、不同维度数学知识结构

1.融合关系数学知识结构

融合关系数学知识结构是指打破知识横向联系与纵向联系的界限，跨越不同学习内容和不同年级，甚至不同学段的局限，融合数学知识的形成过程，数学知识学习方法等维度，以整体视野，透过一个个不同知识点的表面，发现这些知识之间存在的本质联系和内容的结构关联.把这些看似不同，实质却有联系的数学知识梳理清晰，从整体上对数学知识结构形成多维关系的认识，以整个学段的整体视野审视各知识结构块之间的关联性.

图1

案例1：初中数学融合关系知识结构，如图1所示.

图1是对初中数学知识分析、梳理形成的结构图，这样的知识结构图，不仅直观显示了初中数学知识各块内容之间存在的本质联系，也可以清楚地看到各块内容发生、发展过程中蕴涵的数学思想方法.例如，数量关系这一分支，体现了一个由具体到抽象、由特殊到一般、由独立到联系、由静态到动态的发生过程；从数量关系与空间图形的关系来看，体现了数与形之间的相互依存关系，借助于数轴与平面直角坐标系，数量关系可以通过图形得以直观，而图形关系可以通过数量关系得以精细刻画.综观整个数学知识，是一个具体到抽象、特殊到一般、动态到静态、数与形之间的转换过程.繁杂的知识背后存在着本质上的一致，即知识的发展无非是认识角度的变化，是抽象度、符号化操作要求、思维水平不断提升的过程.

案例2：三角形、四边形融合关系知识结构，如图2所示.

图2

图2是三角形、四边形融合关系知识结构图，单独从图形的左边来看，是三角形内部的纵向关系，是一个从一般到特殊的发展过程.等腰三角形和直角三角形是特殊三角形，等边三角形是特殊等腰三角形，含30°角直角三角形是特殊直角三角形，而等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；单独从图形的右边来看，是四边形内部的纵向关系，也是一个从一般到特殊的发展过程.菱形与矩形是特殊平行四边形，一个内角为60°的菱形是特殊菱形，对角线夹角为60°的矩形是特殊矩形，而正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形.

将左右两部分合起来看，就是三角形与四边形的横向关系，右边每一个特殊四边形是由左边相对应的一对全等特殊三角形组合的.认识三角形与四边形之间存在这样的纵向关系，就可以体会将四边形问题化归为三角形问题的思想方法.右边四边形的纵向关系因为内容安排在同一章节，师生可能还关注较多，而左边的纵向关系，以及左右之间的横向关系因为学习内容分散在不同章节，师生对其内在的结构关系可能关注较少.

2.横向关系数学知识结构

横向关系数学知识结构是指以横向联系的整体视野，以教材中横向的“点”为单位的学习内容，揭示类知识结构间的内在关联性，按其内在的类特征组成一个整体，使学生先认识整体，再局部把握知识，凸显类知识背后共通的思维方式，丰富学生对类特征知识内涵的整体认识和结构把握.

案例3：不同类型数、式、方程、不等式、函数知识结构，如图3所示.

图3

图3是不同类型数、式、方程、不等式、函数知识结构图，其横向关系体现在以下三个方面.

一是不同类型的数、式、方程、不等式、函数之间有相似的发展过程.式是字母表示数一般化的结果，方程、不等式是研究式之间的相互关系，函数是用运动观点来研究数，是数之间对应的变化关系；函数是方程、不等式的一般化，方程、不等式可看成是函数关系中的特例，函数可看成是一个动态的变化过程，而方程、不等式是其中的一段变化过程或某个静态瞬间；式子的值随着其所包含字母的值的变化而变化，函数正是这一变化关系的符号化表示，因而函数可以看成是从变化的观点看代数式的值并加以符号表示.学生若在学习中能把握上述的相似结构，就能将整数—整式—整式方程—整式函数的研究经验类比迁移到对其他数、式、方程、不等式、函数的研究.

二是不同类型数、式、方程、不等式、函数之间存在相似的研究结构.例如，数的扩充过程都是源于生产、生活的需要；各类式都是研究其定义、性质、化简、以及运算；各类方程都是研究其定义、解法及应用；而各类函数都是研究其解析式、图象，以及解析中系数变化与图象之间形状、位置变化的关系.学生在学习中若能认识到这种共同的研究结构，就能将从其中一类知识学习中认识到的研究结构迁移应用到另几类知识的研究中.

三是不同类型数、式、方程、不等式、函数之间存在一个扩展的关系.从数来看，分数可以看成是整数相除（除数不为0），算术平方根可以看成是非负整数与分数正的平方根；从式来看，分式可以看成整式运算的完备，多项式除多项式，以及除式中出现被除式中不含有的因式的整式除法，以分式的形式进行运算，二次根式则是整式的开方运算.方程、不等式、函数也有类似的关系，学生在学习中若能掌握到这种扩充关系，就自然而然想到各类知识之间的相互转化关系，即数的运算最后转化为整数的运算（小数运算，数位相加时还是整数运算），式的运算最后转化为整式的运算，各类方程最后都转化为整式方程.显然，各类函数也需要将其转化为整式函数来研究.如此，表面繁杂的知识点其结构显得非常简洁，其内在本质具有一致性，更重要的是特殊化、一般化、类比、化归等思想方法无需语言赘述，一览无余.

3.纵向关系数学知识结构

纵向关系数学知识结构是指以纵向联系的整体视野，以教材中纵向的“点”为单位的学习内容，揭示知识结构间的纵向关联性，按其内在逻辑组成由简到复杂的结构块.如果学生把握了知识纵向之间的关系，深度认识数学知识在不断飞跃发展过程中，存在着本质的不变的结构性，就有可能借助于结构的支撑，能够在超越原来学习情境的思维中灵活运用所获得的知识，解决许许多多看来似乎生疏，但实际密切关联的问题.

案例4：解决实际问题代数模型知识结构，如图4所示.

图4

由小学的算术方法，到初中的方程和函数，是解决实际问题的数学模型不断飞跃的过程，面对每一次的飞跃，学生都会面临一次困难，甚至成为学生学习数学的分水岭.解决实际问题的不同模型存在着内在的联系，若能让学生明白这种联系，就能帮助学生完成由一种模型向另一种模型的飞跃.由图4可知，由算术方法到方程有三个变化：一是形式变化，用字母表示未知量，等式两边可以有已知量，也可以有未知量；二是思维变化，由等号单向的程序性思维向等号双向的结构性思维转变；三是本质飞跃，将算术解法抽象的思维过程转化为解方程直观符号的操作.我们知道用算术解决问题时，大脑中始终想着一个未知量，然后想设法利用一个综合式算出这个未知，其实质是列最简单形式的一元一次方程，即x=一个综合式（x表示未知量）.而方程的解法就是突破这种形式上的限制，方程两边既可以有未知量，又可以有已知量，解方程的过程正是原来算术做法的思维过程，将抽象的思维过程转化为解方程直观符号的操作过程.在后续方程内部的发展中，突破了未知数在方程中的位置、未知数的次数、未知数的个数的限制，将解一元低次方程的抽象思维过程进一步转化为解多元高次方程直观的消元与降次符号操作过程.而由方程模型到函数模型，实现了由静态向动态的转化，使问题解决的更为宏观，同时，实现了由数向图形的转换，使问题解决变得更为直观.

二、数学自然法则知识结构

老子曰：道法自然.也就是说万事万物的运行法则都是遵守自然规律的，道就是对自然欲求的顺应.任何事物都有一种天然的自然欲求，谁顺应了这种自然欲求谁就会与外界和谐相处，谁违背了这种自然欲求谁就会同外界产生抵触.自然之道，社会之道，为人之道，数学的发展源自生产、生活实践，因此数学也有其之道.数学自然法则（为了方便，暂且请允许笔者这么称谓）知识结构即数学之道，数学中也存在着许多自然规则，一旦违背了就会出错，不妨以如下案例来进一步说明其含义.

案例5：数学自然法则知识结构.

先回顾一下数学中六种基本运算的关系（如图5），乘法是特殊加法（加数相同）的简洁表示形式，乘方是特殊乘法（因数相同）的简洁表示形式，因而乘方、乘法、加法由高到低分为三级运算，其相应的逆运算开方、除法、加法归到同一级.我们来看数学自然法则之一（如图6），即乘方、乘法、加法三种运算进行单一运算时，可交换数的位置和运算顺序，教材中对加法、乘法的交换律和结合律给出了明确说明.我们再来看数学自然法则之二（如图7）：两种运算相差一级运算可调换两种运算的先后顺序，图7这几个运算法则分散在不同章节、学段，教材基本上是由特例验证一般化得到的，没有给出严格的推理证明.由于符号的抽象性，学生对法则的运算很容易混淆出错，如果能发现两种运算相差一级可调换两种运算的先后顺序这一共性，就可降低记忆负担，提高运用的准确性.再来看自然法则之三（如图8）：幂的几个运算法则，虽然可以通过幂的意义，给出严格的推导过程，学生同样容易混淆出错.深入分析我们可以发现法则之间的共性，即指数运算要比幂之间的运算降一级.上述数学法则体现了数学与自然的一致性，即存在一些必然的规律，也体现了数学的和谐、统一、奇妙特性，这也正是数学的魅力所在，即对必然规律的把握，而不是枯燥、乏味的抽象符号操作.

图7

三、数学知识过程性结构

教材呈现的静态的符号化知识，是前人生活实践活动经验与智慧的结果形态的反映，遮蔽了知识形成的生动过程和前人创造和发现知识的智慧.数学知识都有一个发生、发展的过程，数学教学需将教材呈现的符号化知识解压还原为教育形态，揭示符号化文本知识的生成过程.不同数学知识的发生、发展过程具有相同或相似的特征，数学知识过程性结构是指在深入分析数学知识形成过程的基础上，依据过程的相同或相似特征构建数学知识过程结构.教学中引导学生了解和把握这个过程结构，可促进学生主动地按照过程结构探索数学知识.

1.数学概念学习过程结构

数学概念存在双重性，即表现为“过程”与“对象”两种形态.过程与对象这两个侧面有着紧密的依存关系，形成一个概念，要经历由过程开始，然后转化为对象的认知程序，最终结果是两者在认知结构中共存，在适当的时候分别发挥作用.概念由“过程”向“对象”的形成过程结构包括四个阶段，如图9所示.

图9

案例6：二次函数概念形成的过程结构.

运算操作（活动）：表示生活中实际问题的数量关系得到一组函数关系式为y=6x2，d=，y=20(1 +x)2.

综合分析（过程）：把以上函数关系式作为整体综合进行分析：它们都是函数关系式，自变量最高次数都是2.

形成对象：把这三个函数关系式看成是相同形式，即y=6x2+0⋅x+0,,y=20x2+40x+20,然后提炼出函数关系式的一般形式为y=ax2+bx+c(a ≠0).

图8

形成图式：这时学生的头脑中有二次函数的生活实例，有抽象的操作过程，有解析式一般形式的模式，解析式左右两边恒等的结构性观点，也有代入自变量求函数值或代入函数值求自变量的过程性观点，有二次函数与二次三项式、一元二次方程、一元二次不等式的关系，以及与其他函数之间的区别与联系等.

2.数学命题学习过程结构

数学命题学习过程结构是指许多数学命题发生和发展具有相同的过程结构.让学生体悟认识命题学习的过程性结构，可使学生主动地运用过程性结构探索数学命题.例如，数学图形研究中命题的学习具有相同的过程结构，即“发现和猜想—验证与证明—归纳与表述—拓展与应用”.

3.数学知识表述知识结构

数学知识表述知识结构是指数学知识表述往往存在多种等价的形式，包括概念的等价关系，命题的等价关系，以及命题的多维表述，图10和图11是两类等价关系的实例.

图10

图11

4.数学知识逻辑性结构

数学知识之间存在一定的逻辑关系，逻辑关系包括从属关系、并列关系.从属关系是指数学知识之间存在弱抽象（一般化）或强抽象（特殊化）关系，并列关系是指数学知识之间存在一定的联系，但不是弱抽象或强抽象关系.其实数学知识的发生与发展主要途径有：一是由大量具体实例抽象归纳概括得到；二是将已有知识弱抽象（一般化）或强抽象（特殊化）形成了概念系、概念域，命题系、命题域，依据数学知识之间的逻辑关系构建数学知识网络结构，不仅能体现知识之间的相互联系，还能揭示数学知识所蕴涵的思维方法和数学思想方法，与数学知识的心理表征是相一致的，也就是说能促进数学认知结构的建立.图12是函数知识逻辑性结构图.

图12

四、数学知识方法性结构

数学学习的方法性结构不是指一般的学习方法，而是指数学知识的认识过程.许多不同的数学学习内容，在认识这些数学知识的过程中却有共同的学习方法结构.学生利用这类方法结构，就可以主动地运用到其他同类知识的学习中，有利于学生形成积极主动的学习心向.例如，轴对称变换和旋转变换是不同单元的学习内容，但两者存在着相同的方法性结构（如图13）.学生在轴对称学习时认识把握了这样的方法性结构，就能主动运用到旋转变换的学习中.再如，图14是一次函数学习的方法性结构，在一次函数学习中学生形成函数解析式与函数图象“数”“形”两个维度之间的相互依存的方法结构，在后续函数知识的学习中就可以运用这一结构主动地进行类似研究活动.

图13

图14

五、结束语

笔者在反复梳理数学知识结构的过程中，感受到了表面上纷繁复杂的数学知识背后，原来隐藏着如此简洁的结构，也真正领略到数学的奇妙，数学的好玩，数学知识的美，结构之美、和谐之美、对称之美、统一之美，每次领悟到某一种新的数学知识结构，内心都会有一种窃喜.著名物理学家诺贝尔奖获得者费曼曾说，我讲课的主要目的，不是帮助你们应付考试，也不是帮你们为工业和国防服务.我最希望做的是，让你们欣赏到这奇妙的世界.要提高学生学习数学的兴趣，甚至热爱数学，欣赏到奇妙的数学世界，让学生慢慢去体会数学知识背后简洁、和谐的结构，是一条可行的途径.当然，本文对于初中数学知识结构的认识还是粗糙的，有些知识结构，以及相应的名称明显带有个人主观的朴素经验成分，其科学性还值得推敲.此外，每位教师、每名学生在大脑中都存在着自己关于数学知识的结构图式，并且也会存在一些差异，本文旨在抛砖引玉，若能引起更多同行去关注数学知识结构，用自己的教学思维和数学理解去认识数学知识结构，然后引领学生去认识数学知识结构，感受数学的奇妙，那么，今天所做的粗糙工作也显得是一件十分有意义的事.

参考文献：

［1］吴亚萍.“新基础教育”数学教学改革指导纲要［M］.桂林：广西师范大学出版社，2009.