田雪虹，刘焕牢，刘海涛

（广东海洋大学机械与动力工程学院，广东 湛江524088）

0 引言

随着用户对机器人的要求越来越高，传统的PID控制已无法满足要求，许多非线性控制方法得到越来越多的重视，如自适应控制、滑模变结构控制、迭代学习控制、反步控制、神经网络控制等等。这些控制方法各有优势，也存在不足，在实际应用中具有一定的局限性。本文是针对高性能的工业机器人系统，其控制要求是高速、强鲁棒性和高抗干扰力，而以上方法难于满足性能要求。

有些研究表明系统的有限时间稳定比渐近稳定具有更好的控制精度和抗扰动性能[1]，因而得到研究者的密切关注，常见的有限时间控制方法有时间最优控制[2-3]、终端滑模控制[4-5]、齐次性方法[6]等。终端滑模控制是通过设计一种动态非线性滑模面方程实现的，并使得滑模面误差能够在有限时间能收敛到零[7-8]。因此，该控制方法在很多系统的控制设计中被广泛应用。文献[9-10]考虑集群航天器电磁编队系统的强非线性特性，结合非奇异终端滑模理论，提出了一种有限时间稳定性控制方法。文献[11]提出了一类自适应终端滑模有限时间控制方法显式地引入输出的饱和幅值，确保闭环系统在有限时间内快速收敛到滑模面的邻域内。但是传统的终端滑模控制存在切换特性，容易使系统产生“抖振”现象。为解决“抖振”问题，张碧陶等[12]将分数阶理论引入到滑模面中，从而有效的削减了抖振。在此基础上文献[13]将分数阶理论与模糊逻辑相结合，提出了基于模糊分数阶的滑模控制策略，同样能有效地削减抖振，并且能保持滑模控制器对系统外部扰动的全局鲁棒性。文献[14]针对机器人实际存在的不确定性问题，提出了基于神经网络的分数阶滑模控制方法，采用BP神经网络逼近机器人的逆动力学方程并进行补偿，因而具有良好的鲁棒性。但是以上方法无法获得闭环系统的有限时间稳定性。基于此，本文为进一步提高机器人的控制性能，将分数阶理论推广至终端滑模控制理论，从而保证系统在有限时间收敛的同时能够消减抖振。

1 问题的描述

考虑具有n自由度的多输入多输出的工业机器人系统：

其中 q，q˙，q¨∈Rn分别是关节角度、角速度和角加速度向量，M（q）∈Rn×n为对称正定的惯性矩阵，C（q，q˙）∈Rn×n是哥氏力和向心力矩阵，G（q）∈Rn是重力项，τ∈Rn为各关节的控制力矩。

实际上很难甚至不可能精确获得模型（1）的动力学参数，因此基于动力学的控制方法需要考虑这些参数不确定性对机器人性能的影响。为此，本文将机器人的实际参数表达为如下形式

其中 M0，C0，G0为估计参数，△M，△C，△G 为参数的未知部分。则机器人的动力学方程（1）可表达为

其中，

ρ（q¨）∈Rn称为机器人参数的不确定性函数。

假设1.不确定性函数满足：

其中ε＞0，由于机器人的关节加速度是有上限的，因而假设1是符合实际的。

2 分数阶终端滑模控制

考虑一类带不确定性的二阶非线性系统：

其中x=[x1，x2]T，非线性函数f（x）和g（x）≠0是平滑的，d（x）为未知不确定函数，满足‖d（x）‖≤d¯，d¯＞0.

为了消除“抖振”，本文提出一种基于分数阶理论的终端滑模方法，即选择如下滑模面：

采用基于分数阶的滑模面，本文得到如下定理：

定理 1针对系统（6），若选择滑模面（7），将控制器设计为：

式中k＞d＞0，则系统状态能在有限的时间内运动到TSM滑模面。

证明：

对滑模面（7）求导可得

选择如下Lyapunov函数

对上式求导可得

将控制器（9）代入上式得

因此，由Lyapunov稳定性理论可知，系统状态能在有限的时间内T到达滑模面。

为证明沿着滑模面的系统状态到达平衡点的时间也是有限的，文献[14]得到如下引理：

引理1[14]假设连续正定函数V（t）满足微分不等式

式中μ＞0，0＜η＜1均为常数。则V（t）满足不等式

V（t）≤V1-η（0）-μ（1-η）t 0≤t≤tr1（15）

并且 V（t）=0，∀t≤ tr1，有限时间

在终端滑模s（t）=0上。由引理1可证明到达平衡点的时间也是有限的。

即由 s（t）=0 可得

定义Lyapunov函数为

V沿滑模面对时间求导有

其中 μ =2(1+λ)/2α，0 ＜ η =（1+ λ）/2 ＜ 1.由引理1 可知，当 t≥ tr1时，有 x1=0，且

说明：式（9）中的符号函数 sgn（s）也会造成“抖振”现象，故本文采用分数阶导数的滤波特性来抑制“抖振”，即将 sgn（s）修正为：

证明：当采用分数阶控制律时，可选择如下Lyanpunov函数

对上式求导可得：

因此设计控制器为

其中d^＞d＞0.则恒有V˙≤ 0，根据Lyapunov稳定性理论可知，系统能在有限的时间内运动到切换面.故得到以下定理：

定理 2针对系统（6），若设计滑模面为式（7），有限时间控制器设计为式（24），则系统状态到达TSM滑模面的时间是有限的。

3 基于分数阶的机器人终端滑模控制

工业机器人有限时间轨迹跟踪控制的目的就是使机器人的关节q能有效地跟踪期望的qd，且使跟踪误差 e 收敛至零的时间是有限的，其中 e（t），e˙（t）∈Rn分别定义为 x1=e=q-qd，x2=e˙=q˙-q˙d则机器人的动力学模型（3）可表达为：

若采用同式（7）的滑模面，则有以下定理。

定理2 针对系统（20），若选择滑模面（7），且将控制器设计为：

证明类似于定理2，略。

4 仿真

为了验证本文算法的有效性，本文对如图1所示的高速二自由度机器人进行仿真，其动力学方程为

其中

m11=p1+p2+2p3cosq2-2p4sinq2

m12=p2+p3cosq2-p4sinq2

m22=p2

b=p3sinq2+p4cosq2

p1，p2，p3和 p4为机器人的最小惯性参数，d1=0.5sint，d2=0.5cost为机器人的外界干扰；机器人的实际参数值为：p1=0.049 8 kg·m2，p2=0.003 6 kg·m2，p3= －0.001 5 kg·m2，p4=0.008 1 kg·m2；而其估计参数值为：p1=0.038 6 kg·m2，p2=0.019 24 kg·m2，p3= －0.000 45 kg·m2，p4=0.004 923 kg·m2. 机器人的期望轨迹为qd1=sin2t，qd2=sin2t.系统的初始状态为q1（0）=0.2 rad，q2（0）=0.2 rad，q˙1（0）＝0 rad/s，和q˙2（0）＝0 rad/s.控制器的控制参数为：α=diag（25，25，25），β =diag（20，20，20），w=diag（30，30，30），r=0.8，λ =0.8.

图1 两自由度平面机器人

仿真结果如图2、图3所示，由图2可以看出这些关节的响应时间在1 s左右，且各关节的位置跟踪误差为0.05 rad，容易得出，本文提出的算法具有较高的跟踪精度、较快的瞬态特性和较强的鲁棒性。由图3可以看出，各轴的控制量相对平滑，也不存在抖振现象。

图2 机器人的跟踪误差

图3 各关节的控制输入量

5 结论

本文针对传统整数阶终端滑模控制系统的抖振问题，提出了分数阶的终端滑模控制算法。通过采用分数阶的切换流形来抑制抖振，再结合终端滑模控制的有限时间收敛特性，从而保证机器人闭环系统具有较高的跟踪精度、较快的瞬态特性和较强的鲁棒性。仿真结果表明，本文提出的控制方法是有效的、可行的。

参考文献：

[1]Shihong DING，Shihua LI，Qi LI.Stability analysis for a second-order continuous finite-time control system subject to a disturbance[J].J of Control Theory and Applications，2009，7（3）：271-176.

[2]于瑞林，郭 磊.一类有限时间切换系统的最优制问题[J].控制理论与应用，2010，27（8）：1093-1096.

[3]甄子洋，江 驹，王志胜，等.有限时间信息融合线性二次型最优控制[J].控制理论与应，2012（2），29（2）：172-176.

[4]Shihong Ding，Shihua Li.Stabilization of the attitude of a rigid spacecraft with external disturbances using finite-time control techniques[J].Aerospace Science and Technology，2009（13）：256-265.

[5]Jin Erdong，Sun，Zhaowei.Robust controllers design with finite time convergence for rigid spacecraft attitude tracking control[J].Aerospace Science and Technology，2008（12）：324-330.

[6]Hua Wang，Zhengzhi Han，QiyueXie，Wei Zhang.Finite-time chaos control of unified chaotic systems with uncertain param eters[J].Nonlinear Dynamics，2009，55（4）：323-328.

[7]丁世宏，李世华.有限时间控制问题综述[J].控制与决策，2011，26（2）：161-169.

[8]丁世宏，李世华，罗 生．基于连续有限时间控制技术的导引律设计[J].宇航学报，2011，32（4）：727-733.

[9]胡 敏，曾国强.基于终端滑模的集群航天器电磁编队有限时间控制[J].航天控制，2011，29（6）：22-27.

[10]胡 敏，曾国强.卫星编队飞行有限时间控制方法[J].空间控制技术与应用，2012，38（1）：23-28.

[11]胡庆雷，李 波，张爱华，等.考虑推力器安装偏差的航天器姿态机动有限时间控制[J].控制理论与应用，2013，30（4）：417-424.

[12]张碧陶，皮佑国.基于分数阶滑模控制技术的永磁同步电机控制[J].控制理论与应用，2012，29（9）：1193-1195.

[13]张碧陶，皮佑国.永磁同步电机伺服系统模糊分数阶滑模控制[J].控制理论与应用，2012，27（12）：1776-1780.

[14]Yu T.Terminal sliding mode control for rigid robots[J].Au tomatica，1998，34（1）：51-56.

[15]徐庆宏，黄家才，周 磊.基于神经网络逆系统的机器人分数阶滑模控制[J].组合机床与自动化加工技术，2015（12）：49-52.