□ 王国元

学生由感性认识得出的偏离科学现象本质和科学概念的理解与想法称为“相异构想”。建构主义认为，学生的学习过程不是简单地“输入、存储”课本和教师提供的信息，而是主动地将原有经验和新信息进行对比、分析、判断、选择和重建知识结构的过程。但由于学生的知识结构和思维方式是通过日常活动的各种渠道逐步形成的，因此，学生的“前概念”可能与科学概念大相径庭。经学生自主修正、重组后的知识往往是新知识与旧知识、科学的思维方式与原有的思维方式相互混杂，进行自然整合，构成了儿童学习新知的基础，从而派生出了各种类型的“相异构想”。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，“学生的学习要建立在学生的认知发展水平和已有的经验之上……”因此，研究学生的“相异构想”不仅是实现“学生的主体地位”的需要，也是教师作为“组织者、引导者、合作者”所必须去做的。

然而，实际教学中却存在以下3个问题。

问题1：没有根据学情准确评估学生的相异构想。有一部分教师在设计教学时，没有考虑学生的学情（认知发展水平、已有经验等），有些教师虽然关注了学情分析，但是由于评估方法不合理，影响了相异构想评估的准确性。

问题2：没有行之有效的调正相异构想的策略与方法。面对学生存在的相异构想，有些教师采取回避的态度，导致学生的学习效率低；有些教师根据已有经验加以调正，针对性差。

问题3：没有精确把握“图形与几何”教学的核心目标。在“图形与几何”的教学中，很多教师是以学生“是否会解题”为终极目标，没有把“图形与几何”领域的核心目标落到实处，不利于学生对本领域知识的“意义建构”。

相异构想生成的维度有知识、技能、经验和数学思想，但是在具体的学习过程中，知识、技能、经验和数学思想是各自存在却又互相融合的状态，本文为了清晰剖析相异构想的调正策略，试图立足知识、技能、经验和数学思想各自的维度，借助大量的课例剖析四个维度对应的相异构想的类型，阐述具体的调正策略。

一、由知识维度生成的相异构想类型与调正策略

知识维度生成的相异构想主要有两种类型，一种是知识内涵模糊，指学生对所学知识难以真正的感悟、理解，尤其是对数学概念的内涵不清晰。一种是知识网络割裂，指学生对所学的数学知识以块状的形态储存于认知结构中，对它们之间的纵横联系没有形成网状的形态。

（一）知识内涵模糊的调正策略：感悟理解

有些知识点不容易理解，学生会在后续学习中不断出现混淆、出现错误，如学生对“面积”概念的理解。经由前测，我们发现学生在摸面与周长后用自己的语言表述“面在哪里，一周在哪里”的时候，有72%的学生表达的意思是“一周就是靠在外面的部分，面就是在里面的部分”，也就是说，大部分学生认为周长属于表面的“外面”一部分，面积属于表面的“里面”一部分。可见学生无法感知到两者之间一维、二维的差异，并由此生成了周长和面积混淆的根源。

如何让学生充分地感悟和理解概念的内涵，自发地感悟两维的差异，顺利地从一维走向二维，就成了这一课教学需要解决的根本问题。

理解1：摸各类面，感受规则物体与不规则物体的“面”的共性

课堂上准备含曲面的物体和不规则物体，放手让学生摸课桌上的面，发现“面”有水平的平平的，也有竖起来的平平的，有大也有小，就有利于突破“面”的水平固像，然后再让学生感知曲面。在经历了这一系列的摸面活动后，让学生用自己的话说说什么是“面”。

理解2：蒙眼摸面，感受横向到边与纵向到底的面的二维特征

学生总是难以规范地摸出整个“二维”的面，常在内部画了个圈就算摸完，这是因为他在视觉上已经看到了整个面。那就把学生的“直观感觉”蒙起来，让学生主动要求“我想把面摸完整”，那么学生就能更好地感知“体—面—线”的内在序列，感受面的二维性。

理解3：体上摸出面，体上摹出面——从三维到二维

面不离体，面可以从体上抽象出来。学生感受这样一个过程，既能体会到面与体之间的联系与区别，也有利于学生更好地理解“面”有别于“体”的二维特征。

师：你能不能想一个办法，让一个“面”走到我们的纸上来呢？（学生拓印或画，展示交流作品“圆形”“硬币拓印圆面”“长方形”“三角形”“正方形”，分别猜猜、说说这个“面”来自什么物体）

理解4：线围面积，从一维到二维

物体的表面在客观上都可以视作一个有周界的“封闭”图形，所以在讲平面图形时要借助“封闭”让学生正确理解面积的含义，如果“表面”无法确定，那么就无法度量，也就没有面积。

师：现在屏幕上有根线，长为30厘米。我用这根线围出一些平面图形，它们有面积吗？请用黄色表示出它们的面积。

师：都认为从左往右数的第4个图形没有面积？你们是怎么想的？如果我想涂呢？（拿笔在投影上涂）

生：那就能一直涂下去了。

生：到底能涂多大的面积，根本不能确定，涂也涂不完。

生：只有封闭图形才有确定的大小，才能涂完。

师：好，那你们就在已经涂出面积的封闭图形上用红色笔涂出周长，再分别摸一摸面积、指一指周长给同桌看。现在你觉得周长、面积有什么不同？

生：周长是一周的长度，面积是里面的大小。

生：周长在外面，面积在里面。

生：周长都是30厘米，面积大小各不相同。

师：周长是长度，是测量图形一周得到的具体长度，这里是30厘米。而面积是整个面的大小。

课件直观展示：

突出周长是一维测量的结果，是测量封闭图形外面一周得到的长度，纠正学生脑海中“周长是面的一部分”“周长是面的外面部分”的一维二维混淆的根源性偏差。

（二）知识网络割裂的调正策略：梳理沟通

知识的学习，总是从点状起步。学生对知识点的理解往往存在片面的割裂状态。当一部分知识点完成教学之后，教师应该借助核心问题，让学生回顾所学知识，并用联系的观点重构知识，帮助学生形成知识网络。如人教版六下的“立体图形的体积总复习”一课。课前，学生大都已经掌握了四个立体图形的体积计算公式，但让学生具体操作“根据自己所了解的体积知识，给四个立体图形分类，要求至少三种分法，并说明按什么分”时，发现学生按点、线、面层面分类较多，从旋转、平移的运动形式和体积基本公式层面去考虑的学生竟然不足5%。这就是，学生的知识没有被梳理沟通建立联系，没有很好地建构成网络。那么，这节课就应引导学生用运动的观点去操作、观察、想象，帮助学生形成清晰的知识网络。教学基本流程如下。

沟通1：理解点、线、面、体的内在联系

(1)“点”的平移成“线”。

(2)“线”的平移或旋转成“面”。

(3)“面”的平移或旋转成“体”。

点、线、面、体的内在联系如下图所示：

沟通2：沟通平面图形与立体图形之间、立体图形与立体图形之间的联系

经历了这样的动态梳理沟通过程，学生就构建了丰满的体积知识网络。

二、由技能维度生成的相异构想类型与调正策略

由技能维度生成的相异构想也有两种类型，一种是方法失范，指学生对所学知识的发生、发展过程缺少体验，导致“知其然，而不知其所以然”；一种是方法生疏，指由于缺少必要的指导与练习，在应用知识时易产生方法不恰当、不熟练等问题。

（一）方法失范的调正策略：指导规范

很多知识的教学，如果跳过过程直接给予结论，学生就会在后续学习中不断出现“方法失范”的问题。根据相异构想理论，应该遵循学生的认知规律和知识的发生、发展过程，去逐步引导学生经历过程，构建良好的知识结构。

如三年级下“长方形的面积”一课学习之前，有近75%的学生已经具有“用面积单位来度量图形的面积”这一学习经验，并能在度量中知道面积单位的量数所对应的面积大小；有近33%的学生会通过公式来计算长方形的面积，但对面积为什么可以通过“长×宽”来计算的原理并不清晰。那么，课堂上，就需要从调正学生的相异构想角度出发，让学生从“度量”的直观层面，提升到计算模型与二维观念的建构，让学生经历“规范”的知识发生、发展过程。具体环节如下。

螺钉位置不良者，若只单纯存在神经根刺激症状，考虑先进行脱水等对症处理，部分患者逐渐耐受可避免二次手术；若患者出现脊髓受压、血管损伤等情况，建议立刻改行开放手术，若术中发现椎弓根破坏、松动无法置钉时，必要时考虑延长固定节段。术前对置钉椎体的椎弓根进行CT扫描，仔细观察椎弓根大小及有无髓腔，并对进钉角度进行测量，结合术中透视（正位椎弓根螺钉不超越脊柱中线），可降低置钉不良的发生率。

指导1：初步感受长方形面积的大小与其长、宽有关

(1)出示图形。

(2)引导学生用“1平方厘米”的面积单位去测量。

(3)思考：沿长测量，一行为什么可以摆5个？为什么可以摆3行？

(4)这个长方形的面积是多少？你是怎样想的？

指导2：感悟长、宽的变化会引起面积大小的变化

(1)演示图形变化过程。

(2)思考：与原长方形面积比较，面积发生了什么变化？为什么会发生这样的变化？这个长方形的面积是多少？

(4)演示变化过程。

(5)思考：与原长方形面积比较，面积发生了什么变化？为什么会发生这样的变化？这个长方形的面积是多少？

(6)想象：如果长方形的长不变，面积要变小，怎么办？

指导3：比较归纳，构建模型

(1)思考：长方形面积的大小，与什么有关？

(2)归纳得出：长方形的面积=长×宽。

这样的教学就完整地呈现了长方形面积公式的生成过程，深度构建了“面积模型”，有效地指导学生感悟长方形面积计算公式的含义。

（二）方法生疏的调正策略：推进自动化

经过学生自主修正、重组后得到的知识往往存在新知识与旧知识、科学的思维方式与原有的思维方式的“相异构想”，比如新授学习内容之后，学生并没有掌握恰当的方法，解决问题也并不熟练。此时，教师应该结合解决问题过程，帮助学生矫正错误方法，并通过一定量的有意义练习，使技能达到高度完善化和自动化的水平。以六年级下“圆锥的体积练习课”为例。

推进1：剖析错例，规范方法

(1)出示错例。

一个铁制圆锥形零件，底面半径是2cm，高是15cm。已知每立方厘米的铁重7.8g，这个圆锥形零件重多少克？

(2)思考。

①错在哪里？为什么会产生这种错误？

②如何改正？

学生错因的本质，动态对接不够强化，模型构建时，不清楚每一步的含义。

推进2：沟通、强化等底等高的圆柱与圆锥的体积关系

(1)回顾圆锥体积计算公式的推导过程。

(3)等底等高的圆柱与圆锥的体积有什么关系？

推进3：正确应用，提高熟练度

(1)计算下面圆锥的体积。

①列式计算。

②思考、想象：3.14×（10÷2）2×15表示什么？

（2）解决问题。

工地上有一堆沙子，近似于一个圆锥（如下图）。它的底面周长是12.56m，高是1.2m。这堆沙子的体积是多少立方米？

①交流结果。

②思考、想象：3.14×（12.56÷3.14÷2）2×1.2表示什么？

(3)做一做，想一想。

①如上图，已知圆锥的体积是56.52立方厘米，底面积是28.26平方厘米。它的高是多少厘米？

③如果要使圆锥与它等底等高的圆柱体积相等，你有什么办法？画草图说明。

推进4：归纳提升

(1)通过刚才的练习，你有什么新的收获？

(2)在计算圆锥的体积时要注意什么？

技能要达到自动化的水平，学生需要经历一定量的练习。有效的技能练习过程，应该从学生的困难点、易错点出发，经由辨析、尝试、探究、思考，逐步掌握技能。

三、由经验维度生成的相异构想类型与调正策略

由经验维度生成的相异构想类型分为生活经验缺少和活动经验贫乏两类，生活经验缺少，是指受生活环境和实践活动的制约，缺少理解数学知识所必需的生活经验，在理解相关知识时产生困难；活动经验贫乏，是指由于没有经历活动过程，或虽有过程，但没有进行及时有效的提炼，造成活动经验贫乏。

（一）生活经验缺少的调正策略：创设情境，感悟丰富

当学生因生活经验缺少而难以形成丰富的表象感知时，就会出现知识的掌握度过浅的状况。如容积单位的进率换算、容积大小判定等，学生经常错误频出。这就需要创设生活化的情境，提供丰富的感性材料，帮助学生积累生活经验，以引领学生感悟，理解“容积与容积单位”。具体教学片段如下。

感悟1：认识1升与1毫升

(1)出示两个装满清水的500毫升量筒，并把水都倒入1立方分米的正方体透明塑料盒中。

(2)引导学生观察，用自己的话描述1升水的体积有多少。

(3)用针筒抽出1毫升蓝色水，引导学生观察，说说自己的想法。

(4)把抽出的1毫升蓝色水注入1立方厘米正方体透明塑料盒中，引导学生说说自己的感受与想法。

(5)把1毫升蓝色水倒入一个1立方分米的正方体透明塑料盒中，引导学生观察、对比，说说自己的想法。

感悟2：1毫升→1升的变化过程

(1)每个学生用针筒1毫升1毫升地抽水10次，注射到透明的杯中，观察并说说感受。

(2)把10个同学抽出的水倒入透明的杯中。

(3)把10个杯中的水倒入1立方分米的正方体透明塑料盒中，你有什么想法？

感悟3：“喝水活动”，体验1升与1毫升的实际意义

(1)引导学生分别喝1毫升、10毫升、100毫升、1升的水，谈谈感受。

(2)你能一次性喝完1升的矿泉水吗？

(3)估一估：你口渴的时候，一般一次喝多少矿泉水？

从看→倒→喝，静态到动态，大大丰富了学生的相关经验。

（二）活动经验贫乏的调正策略：动手操作，积累提升

在实际教学中会发现，学生经常在求三角形面积时忘记“÷2”，求圆锥体积时忘记“÷3”，原因其实是公式提取过快，学生的活动经验累积不足，形成经验贫乏的相异构想。可以通过创设问题情境，引导学生积极主动地进行探究，以弥补活动经验的贫乏。以六年级下“圆锥的体积”为例，具体调正策略如下。

操作材料说明：同桌两人合作。全班共下发22套学具，其中有3组不同型号等底等高的圆柱、圆锥；另有1组等底不等高、1组等高不等底、1组不等底不等高的圆柱、圆锥。

操作1：倒水实验

同桌合作，进行倒水实验并记录。

操作2：交流反馈明特征

(1)介绍实验过程及结果。

操作3：推导圆锥体积的计算公式

(1)课件动态演示实验过程。

(2)结合实验过程推导圆锥体积的计算公式。

圆锥体积的操作环节，一般的教学设计里都有，但往往是把等底等高的一组进行简单而快速的操作。而学生经历了等底不等高、等高不等底、不等底不等高的圆柱、圆锥的体积大小关系的探究活动后，就能更深刻地把握相应的关系。

四、由数学思想维度生成的相异构想类型与调正策略

由数学思想维度生成的相异构想也分为两类，一类是数学思想浅薄，是指在数学学习过程中，由于过度关注知识与技能，而忽视对数学本质的感悟与理解，导致数学思想浅薄；一类是数学思想僵化，是指在探究新知的过程中，虽能调用已积累的数学思想，但不能根据问题情境的变化而灵活应用。

（一）数学思想浅薄的调正策略：感悟提升

过于关注知识与技能，忽略了概念本质的理解，会导致数学思想浅薄。如二年级下“厘米的认识”一课，很多教师在教学时会侧重于具体的测量、记录与单位转换。但根据前测，发现只有25%的学生能准确找出1厘米的长度，有30%的学生在描述1厘米时把“长度”与“点”混淆，即从点到一维的累积不足，约有7.5%的学生几乎没有1厘米的观念。因而课堂教学中需引导学生学会“表征”1厘米，主动地去构建1厘米的表象，不能过于关注知识点，应该根据模型构建正确的表象，并在此过程中进行数学思想方法的有效渗透。

感悟1：认识1厘米（初步了解）

(1)1厘米有多长？你能在尺子上找出来吗？

(2)你还能在尺子上找出1厘米吗？找一找，并告诉你的同桌。

感悟2：比画1厘米（产生表象）

(1)用拇指和食指在尺子上比画出1厘米。

(2)不用尺子比画出你认为1厘米的长度。

(3)把比画出的1厘米放在尺子上进行测量，并调整。

(4)再进行比画、测量、调整。

感悟3：折1厘米（形成表象）

(1)不用尺子，折出你认为1厘米长的纸条。

(2)把折出的1厘米长的纸条放在尺上进行测量，并进行调整。

(3)根据调整结果再折出1厘米长的纸条，并进行测量和调整。

感悟4：找1厘米（形式化）

(1)找出身边大约1厘米长的物体。

(2)用尺子量一量你找出的物体的长度。

感悟5：应用1厘米（组织结构）

(1)出示2厘米长的黄色小棒。

(2)估测黄色小棒的长度。

(3)交流估测的方法。

(4)出示4厘米长的绿色小棒。

(5)估测绿色小棒的长度。

(6)交流不同的估测方法。

(7)出示9厘米长的红色小棒。

(8)估测红色小棒的长度。

(9)交流比较不同的估测方法。

感悟6：回顾认识过程，归纳数学方法

在这个过程中，学生发现找、比画、折、估都能让自己更好地认识“厘米”，探究方法的多样性直接助推了对“厘米”表象感悟的深厚。

（二）数学思想僵化的调正策略：灵活应用

当教材呈现某种方法的时候，很多教师会不管学生的相异构想直接实施与教材一致的方法，导致学生的数学思想方法僵化。如三角形面积的学习，学生有平行四边形面积公式的推导经验，但教材放弃了割补法，选择了双拼法。很多教师就会暗示性地提供两个一样的三角形让学生完成“转化”。其实，可以提供合理的素材，利用学生原有的构想，激发学生的探究欲望，让学生调用多种数学思想方法，在尝试中灵活应用，去生成新的正确构想。（详见本刊“本期话题”栏目的课例文章）

基于相异构想的教学策略，将学生放到了主体地位，重视学生的原初经验、“前概念”，重视调正学生的相异构想，帮助其逐步形成科学概念；基于相异构想的教学策略，也彰显了教师的主导作用，教师通过不断自问“本课教学，学生会存在哪些相异构想？产生相异构想的原因是什么？怎样调正相异构想？”从而形成调正学生构想的教学流程，并在这样的思考和实践过程中，逐步提升自我的教学能力，最终落实“以学定教、共同发展”的教学目标。

参考资料：

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