曾月迪，林嘉沁

（莆田学院 数学与金融学院，福建 莆田 351100）

在数学师范生的培养中，中学数学方法论是重要的一门课，其针对数学思想方法，让学生的数学素养得到提升.在教学中，圆锥曲线是重要的一个内容.实际上，圆锥曲线不只是中学数学中的问题，而且其有较多应用，如文[1-3]等，所以我们从中学到大学都对圆锥曲线进行研究.而对于中学数学中圆锥曲线的探讨如文[4]等，其中圆锥曲线中最值问题的考察知识面广，综合性强，对学生知识储备要求高，因此常常作为中学考试和教师招考的热门题型，近几年有较多探讨如文[5]等.本文从一道高中数学联赛题的圆锥曲线最值问题出发，展开思考.

把2013福建高中数学竞赛题预赛12题第2小题[6]问题一般化为：如下图，

问题：已知A、B为抛物线：y2=2px(p＞0)上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限.l1、l2分别过点A、B且与抛物线相切，P 为 l1、l2的交点.设 C、D 为直线 l1、l2与直线 l：x=t(t＞0)的交点，求△PCD面积的最小值.

1 从极端情况探讨问题

性质1 若交点P的横坐标是定值，则P点在x轴上，三角形PCD的面积取到最小值.

证明 设P坐标为 (x0,y0)，x0＜0，过点P的直线方程为y-y0=k(x-x0)，并与抛物线y2=2px联立得：

若直线与抛物线只有一个交点即直线与抛物线相切，由（1）式得：Δ=0即

由此可知：若 k1，k2为（2）式的两个根，则.设两条相切直线与直线x=t(t＞0)的交点为 C(t,y1)、D(t,y2).不妨设 y1＞y2，则

由此可知若x0,t固定时，当y0=0时，(y1-y2)2最小，即y1-y2最小，所以最小.

从而有：

定理1 设点P在直线x=x0＜0上，则过点P与抛物线y2=2px(p＞0)相切的直线，交直线 l：x=t(t＞0)于 C、D 两点，所构成的三角形PCD的面积当P点在x轴上……