郎成业，胡雄心，胥 芳

(浙江工业大学 特种装备制造与先进加工技术教育部/浙江省重点实验室，浙江 杭州 310014)

0 引 言

近年来，随着科技的发展，高端制造业中对于高速旋转机械的要求越来越高，如航空发动机、透平机械等，故对如何提高转子转速这方面的研究有着非常重要的意义。

提高转子转速的方法主要有两种：一种是通过提高刚性转子的一阶临界转速，常见的如改变转子的结构尺寸及材料[1]；除此之外，文献[2-3]研究了多支承转子系统，并证明了多个支承能够提高转子的一阶临界转速。另一种方法是减小柔性转子跨越临界转速时的振幅，国内外相关学者提出了多种使转子能平稳跨过一阶临界转速的方法。S.-M.Wang[4]提出一种通过相位调制的方法减小转子在通过临界转速时的振幅；Yohji Okada[5]采用了弯曲控制的方法，使转子能够平稳越过临界转速。阎晓军等[6]研究了基于记忆合金的变刚度支承系统，达到了转子减振效果；胡新宁等[7]提出了一种通过改变磁轴承轴承刚度，使超导转子能够平稳地跨过临界转速的方法；还有一些其他学者通过研究电磁阻尼器[8-10]来抑制转子振幅。

在一个固定的转子系统中，由于转子结构尺寸不易更改，几乎很难提高一阶临界转速，而新型材料价格较为昂贵；转子系统的多支承理论和技术虽能提高转子一阶临界转速，但提高的幅度有限。其次，运用记忆合金变刚度支承系统进行超临界运行时，因支承与转子有接触擦从而限制了转子的转速，并且该方法结构和控制系统较为复杂，从而导致超临界特性不太理想，特别不适应快速响应的过程。另外，超导磁悬浮变刚度系统的工作条件要求过高，装备复杂，不适于在民用工业中大量运用。

本文提出一种主动控制下的磁悬浮轴承—转子系统变支承跨越一阶临界转速的方法。首先建立多支承转子系统模型，推导出变支承转子系统的控制方程，建立超临界运行的振幅与刚度变化率的关系；然后利用ADAMS和Matlab建立磁悬浮转子机械系统仿真模型和控制系统模型；进一步联合仿真[11-12]分析变支承磁悬浮转子系统的振动响应，取得快速变支承的方法和技术参数。

1 数学建模

1.1 变支承转子系统原理

转子系统发生共振时的临界转速与支承数有关，磁悬浮转子系统在两支承和三支承下的动态响应图如图1所示。

图1 不同支承数目下转子系统的响应曲线

由图1可知：在三支承磁悬浮转子系统加速运转过程中，当转子转速到达w3时，转子已经过了两支承磁悬浮转子系统的一阶临界转速，但还未达到三支承磁悬浮转子系统的一阶临界转速，此时通过控制系统使转子系统由三支承切换到两支承(左右两支承不变，只对中间支承控制参数进行改变)，从而使磁悬浮转子系统平稳跨过一阶临界转速。

1.2 三支承磁悬浮转子系统模型

三支承磁悬浮转子系统示意图如图2所示。

图2 三支磁悬浮轴承转子系统示意图

把转子离散为j个节点，由转子动力学可推导出转子系统的运动学方程如下：

(1)

式中：M—转子质量矩阵；C—阻尼矩阵；K—刚度矩阵；f0—干扰力矩阵。

刚度矩阵K为：

(2)

式中：K0—轴单元的刚度矩阵；nb—有支承处的节点编号；knb—支承处的支承刚度；矩阵Tnb—1×j阶矩阵，且在该矩阵中第nb个元素为1，其余为0，如下所示：

阻尼矩阵C为：

(3)

式中：Ω—转子转速；G—陀螺矩阵；cnb—支承处的支承阻尼。

1.3 可控变支承磁悬浮转子系统模型

本文运用的磁悬浮轴承由主动控制下的两个差动电磁铁组成如图3所示。

图3 磁轴承差动控制示意图

电磁力与线圈电流和间隙的关系为：

(4)

式中：μ0—真空磁导率；A—磁极面积；N—线圈匝数；i—通过线圈中的电流；x—转子与磁极的间隙。

在主动控制下，磁轴承的电磁合力为：

fx=fx(i0+ix,x0+x)-fx(i0-ix,x0-x)

(5)

将式(4)代入式(5)，并对式(5)进行线性化处理得：

fx=kiix-kxx

(6)

式中：ki—径向磁轴承电流刚度系数；kx—径向磁轴承的位移刚度系数；i0—磁轴承静态偏置电流；x0—初始气隙；ix—线圈中的控制电流；x—转子位移变化量。

由图2可知控制电流ix的表达式为：

(7)

式中：ks，cs—可控刚度系数和阻尼系数。

将式(7)代入式(6)得：

(8)

令ksx=kiks-kx，csx=kics得：

(9)

式中：ksx，csx—磁悬浮轴承系统的等效刚度和等效阻尼，通过改变控制系数ks和cs即可控制系统的等效刚度和阻尼。

将式(2，3)和式(9)代入式(1)可得：

(10)

由上式可知：通过改变控制参数，可实现磁悬浮转子系统支承数目的改变。即当转子转速接近w3时(该时刻为t0)，左右两边支承的控制参数不变只改变中间支承的控制参数，使中间支承的刚度ksx在△T时间内快速减小到零，如图4所示。

图4 主动控制下的中间支承刚度变化

2 仿真模型

本文基于ADAMS和Matlab下对主动控制变支承磁悬浮转子系统进行联合仿真研究，仿真系数如表1所示。

表1 主要仿真参数

磁轴承转子系统在平稳运行时，转子在轴承铁芯的作用下一般都是在其平衡位置处发生微小振动。故可得磁轴承的电流刚度系数和位移刚度系数为：

ki=10.5 N/A，kx=-105.2 N/mm。

ADAMS和SolidWorks有很好的兼容性，所以先用SolidWorks建立系统的三维模型。SolidWorks里建立的模型是没有约束、驱动和质量的，因此在把三维模型导入ADAMS后，需要对模型进行质量设置。为使模型能够按一定的规则进行运动，因此需要在模型上添加相应的约束和转子驱动力。在建立约束时，把套筒、硅钢片和转子作为一个实体。

本文只对转子过临界转速时径向振动进行研究，故把转子轴向自由度约束住。此时建立好的系统模型中的转子为刚性转子，需要对转子进行柔性化处理。利用ANSYS生成转子的柔性文件，把该文件导入ADAMS对转子进行柔性化。

变支承磁悬浮轴承仿真模型如图5所示。

图5 变支承磁悬浮轴承仿真模型f1x—左端径向磁轴承延x方向电磁力；f1y—左端径向磁轴承延y方向的电磁力；f2x—右端径向磁轴承延x方向电磁力；f2y—右端径向磁轴承延y方向的电磁力；f3x—中间径向磁轴承延x方向电磁力；f3y—中间径向磁轴承延y方向的电磁力；g—转子重力

建立好约束和驱动以后需要创建12个状态变量用于与Matlab进行数据交换，其中6个输出变量和6个输入变量，如图6所示。

图6 状态变量的设置

图中输入信号为控制电流信号，输出信号为位移信号。控制电流的大小由输出位移信号，通过在Matlab/Simulink里建立的控制器进行分析处理得到。在该仿真模型中，磁轴承作用在转子上的约束力表达式为：

fix=10.5×Varval(currentix)-
105.2×Varval(distanceix)

(11)

fiy=10.5×Varval(currentiy)-
105.2×Varval(distanceiy)

(12)

式中:i=1,2,3。

以上模型建立好以后，ADAMS会自动生成机械系统的仿真模型，不需运用要数学公式进行建模。用Adams/Controls模块生成.m文件，把该文件导入Matlab后能够生成与Matlab进行数据交换的子模块，如图7所示。

图7 Adams子模块

3 联合仿真分析

Adams建立好模型后，用step函数设置驱动，指定输入输出，然后用Matlab建立好数据交换口，并通过Matlab的Simulink模块建立磁轴承转子系统的控制模块，系统仿真框图如图8所示。

图8 系统仿真框图

3.1 两支承和三支承磁悬浮转子系统分析

在进行两支承磁悬浮转子系统振幅分析时，先把中间支承去掉，即current3x和current3y两项输入为零；进行3支承磁悬浮转子系统振幅分析时，除了加上对第三支承的控制外，其他设置都与两支承磁悬浮转子系统相同。转子转速的驱动函数为STEP(time,0,0,1,0)+STEP(time,1,0,7,6 000)，其意义是在0到1 s转子不旋转，使转子能够静态起浮，1 s后给转子一个驱动力，使转子以60 000 r/min2的加速度匀加速运行。

在主动控制下两支承和3支承磁悬浮转子系统振动曲线如图9所示。

图9 不同支承下的转子振动曲线

由图可知：两支承磁悬浮转子系统在4.35 s时振幅最大为0.154 mm，对应转速为3 350 r/min，即在两支承磁悬浮转子系统中，转子所对应的一阶临界转速为3 350 r/min。3支承磁悬浮转子系统在4.9 s时振幅最大为0.097 mm，对应转速为3 900 r/min，即在3支承磁悬浮转子系统中，转子所对应的一阶临界转速为3 900 r/min。在4.78s时，两支承磁悬浮转子系统和3支承磁悬浮转子系统的振幅相同，此时转子转速为3 780 r/min。当3支承磁悬浮转子系统转速达到3 780 r/min左右时，通过主动控制撤去中间支承对转子的支承作用，从而能够平稳跨过二支承磁悬浮转子系统的一阶临界转速。

3.2 变支承磁悬浮转子系统分析

由上一节可知：4.78 s时两支承磁悬浮转子系统和三支承磁悬浮转子系统的振幅相同，因此进行变支承磁悬浮转子系统振幅分析时，在4.75 s时快速撤去中间磁悬浮轴承，使中间支承的刚度分别以2 000 N/mm·s，1 000 N/mm·s，500 N/mm·s的速率由ksx下降为0。转子振动曲线如图10所示。

图10 刚度变化率对变支承磁悬浮转子系统振幅的影响

由图10可知：中间支承的刚度变化率分别为2 000 N/mm·s，1 000 N/mm·s，500 N/mm·s时，变支承磁悬浮转子系统所对应的最大振幅分别为0.073 mm，0.091 mm和0.115 mm。可得在变支承磁悬浮转子系统中，当中间支承刚度ksx变化率越大，即变换间隔△T越短，其跨一阶临界转速时的最大振幅越小，减振效果越理想。当中间支承的刚度变化率为2 000 N/mm·s时，与两支承转子系统相比，跨越一阶临界转速时的最大振幅减小了52.6%；与三支承转子系统相比，跨越一阶临界转时的最大振幅减小了24.7%。

4 结束语

针对转子在跨一阶临界转速时，振动幅度过大及失稳的问题，本研究提出了一种基于主动控制下的磁悬浮轴承—转子系统变支承跨越一阶临界转速的方法，利用ADAMS和Matlab对变支承转子系统进行了联合仿真，并定量分析了该方法的减振效果。

结果表明：变支承转子系统在跨越临界转速时能够降低转子振幅，并且中间支承刚度ksx变化率越大，其跨一阶临界转速时的最大振幅越小，减振效果越理想。当中间支承的刚度变化率为2 000 N/mm·s时减振效果最明显，此时，跨越一阶临界转速时的最大振幅比两支承磁悬浮转子系统减小了52.6%。

本研究为转子系统平稳跨越临界转速提供了一种新方法。

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