卢劲锴 秦川 夏子婷

摘 要：烤箱是现代家庭厨房中不可或缺的家用电器之一，如何设计一款既能充分利用烤箱内面积、又能尽可能避免烤糊蛋糕的烤箱及配套的烤盘具有重要意义。本文针对烤盘形状进行研究，主要解决了不同形状烤盘上温度分布的计算问题，考虑了在烤盘个数最大和温度分布均匀性最大的条件下的分别对应的烤盘形状。而后综合考虑烤盘个数与温度分布均匀性，给出了烤盘综合得分的计算方法，提出了最优烤盘形状的设计方案。我们综合考虑以上两个目标，通过a-方法确定权数p为0.238。我们定义二者加权后的数值为烤盘综合得分。在假定烤箱形状和大小（S=0.2，W/L=0.8）和烤盘面积（A=0.02）后，我们得到最优烤盘的形状为宽长比为0.87的矩形的最优圆角矩形。

关键词：偏微分方程；有限元；热传导

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2018.08.184

1 烤盘形状的描述

我们设计的烤盘形状为矩形和圆角矩形。圆角矩形可以经过原矩形由以下变换得到：令原矩形外接圆半径为r1，内切于矩形宽的圆的半径为r2。以矩形的形心为圆心，以r（r1≤r≤r2）为半径做一个圆，该圆与矩形相交的形状即为圆角矩形。此模型涵盖了从扁长矩形到圆形的所有过渡形状。

2 热传导模型的建立

由傅里叶定律得：

（1）

则在Ω域经过一段时间内所产生的热量变化为：

（2）

由傅里叶定律知，温度的传到速率正比与温度梯度，则通过闭合曲面进入欧米伽的热量为：

（3）

其中：F表示热源强度，单位时间单位体积内放出的热量：

（4）

根据热量守恒……