杜小军

高考是对学生能力的大检阅，也是对我们教学效果的检验。为了锻炼和提高学生能力，凸显我们教学成果，我们作教师的可没少出力，少操心，经常泡在题海里，聚精会神的捞好题，捡经验，琢磨技巧，总结规律，可谓煞费苦心。我私自认为如果将课本的例题和习题做以拓展和延伸，也能锻炼学生的思维能力和思考方式，提高分析问题和解决问题的能力。现将北师大版理科选修2-3，18页的一道例题的拓展和延伸和同仁们一起做个交流和探讨：

原题：（1）5个相同小球放入8个不同的盒子中，每个盒子至多放一个小球，共有多少种放法？

（2）5个不同小球放入8个不同盒子每个盒子至多放一个小球，共有多少种放法？

这个题是用来让学生认清楚什么情况下是组合，什么情况下是排列，题型很典型，很有代表性和具有模型性，也是产生其它题型的好模板。在教学中，我对这2个题型做了拓展和变形，课堂效果不错。课后我发现学生对这部分知识认识更深刻，知识掌握的也很牢靠，并能灵活运用这些知识解决类似问题。具体变式和拓展如下：

（1）题变式如下：

（变式1）8个相同小球放入5个不同的盒子中，每个盒子至少放一个小球，共有多少种放法？

（变式2）8个相同小球放入5个不同的盒子中，每个盒子放小球个数不限，共有多少种放法？

（变式3）8个相同小球放入编号1，2，3的3个盒子，每个盒子放入小球的个数不小于盒子的编号数，则有多少种放法？

（变式1）的解法是：由于小球相同，可以把8个相同小球依次排开，它们之间有7个空挡，用4个挡板放入7个空挡里，每个空挡只能放一个挡板，就可以分成5组，每组对应一个盒子，每种分发代表一种放法，故有 中方法。这个题目就变成了典型的“挡板法”的模型题。

（变式2）的解法：由于放球个数没有限制，问题似乎变得复杂了，但是由于还是相同小球，我们借助第一题的模型有“挡板法”就可以巧妙解答。現将每个盒子放入一个小球，加上题目中的8个小球共有13个小球，问题就可以变成13个相同小球放入5个不同盒子，每个盒子至少放入一个小球，有多少种放法？故有 中放法。

（变式3）的解法：继续延续变（1）的模型用“挡板法”，故先将2号盒子放入一个小球，3号盒子放入2个小球，则问题变成了，5个相同小球放入3个不同盒子，每个盒子至少放入一个小球，则有多少种放法？故有 种放法.

拓展训练（一）：

1.满足x1+x2+x3+x4=10的正整数解有多少组？

2. 满足x1+x2+x3+x4=10的自然数解有多少组？

（2）题变式如下：

（变式1）8个不同小球放入5个不同盒子，每个盒子至少放入一个小球，则有多少种放法？

（变式2）8个不同小球放入5个不同盒子，每个盒子放入小球个数不限，则有多少种放法？

（变式1）的解法：这是典型的“先分组后排列”的综合题，它的分组方式有：I按4，1，1，1，1，分组有 种方法

II按3，2，1，1，1，分组则有 种方法

III按，2，2，2，1，1，分组则有 种方法

故总的放法有 + + 种。

（变式2）的解法：这是“住店法”的一个好模型题。不同小球就是不同客人，5个不同盒子就相当于5个旅店，问题就成了：8个客人 入住5个旅店，每个旅店入住客人人数不限，有多少种入住方法？故采用分步乘法计数原理，每个客人有5种选择方案，总的方法有58种。

拓展训练（二）

1.将5件不同礼品分给4个人，每个人至少一件，有多少种分法？

2.将5封不同信件投入4个信箱，投入每个信箱的信件数不限，则有多少种投递方式？

在排列组合这一章里，我认为，我们教学时不一定要找好多课本外的习题来让学生做题海训练，用以开拓思维，只要我们深挖教材，利用好书上的资源，给以拓展和延伸，把学生的思维引向更加广阔的空间，就可以学好学活这一章知识，达到事半功倍的效果。这也符合新课改的要求，既减轻了学生课业负担，又开拓了学生思维，提高了学生能力，我们也用好用活了教材。以上是我在课堂上利用和处理教材培养学生能力的一点粗浅认识，写出来愿与大家交流和探讨。

（作者单位：城固县第二中学）