◎孙伟刚

历史典故“晏子使楚”想必小读者们耳熟能详.主人公晏子沉着应对楚王的三次傲慢刁难，迫使楚王甘拜下风，赢得了世人的尊敬与爱戴.但小读者们知道有关晏子的其他历史典故吗？这里，我想将“二桃杀三士”的故事与小读者们分享，请大家在享受历史文化大餐的同时细细品味主人公晏子高超的谋略和惊人的胆识，更盼望小读者们能“咀嚼”出其中的“数学味”来.故事的情节是这样的：

齐景公蓄养着三名力大无穷、武艺超群的勇士，他们名叫田开疆、公孙捷和古冶子.这三人都为齐景公立下汗马功劳，但他们刚愎自用、目中无人，自恃劳苦功高，为所欲为.当时齐国的田氏势力越来越大，而田开疆正属于田氏一族.晏子很担心“三杰”为田氏效力，危害国家，便劝齐景公除掉“三杰”，并献上一计：以国君的名义赏赐三名勇士两个金桃，让他们自己评功论赏，按功劳的大小分桃.

三名勇士都认为自己的功劳很大，应该独占一个金桃，而不愿与别人合吃一个.首先是公孙捷以“打虎救国君”为由得意洋洋地拿走了一个金桃.古冶子见状，立马以“杀鼋保君渡黄河”为由毫不示弱地拿走了另一个金桃.站在一旁的田开疆眼看金桃分完了，急得大喊大叫：“当年我奉命讨伐徐国，舍生入死，斩其名将，俘虏徐兵5000余人，吓得徐国国君俯首称臣，就连邻近的郯国和莒国也望风归附.如此大功，难道就不能吃个金桃吗？”公孙捷和古冶子都觉得自己的功劳确实不如田开疆大，感到羞愧难当，赶紧让出金桃，叹息道：“咱本领不如人家，却抢着要吃金桃，实在丢人，是好汉就没有脸面再活下去了！”说罢，两个人就拔剑自刎了.田开疆见状后悔莫及，心想：如果放弃金桃而隐瞒功劳，则有损勇士的威严；为了满足自己而羞辱同伴，又有损哥们的义气.想到这，他沉不住气了，大喊道：“我们三人结为兄弟，誓同生死，亲如骨肉.如今他俩已死，我还苟活，于心何安？”说完，也拔剑自刎了.

可爱的小读者们，我们不得不钦佩足智多谋的晏子，是他采用借“桃”杀人的办法，不费吹灰之力，消除了国家的隐患，巩固了国君的政权，达到了预定的目的.但小读者们知道吗？晏子除了善于运用计谋，还运用了数学中的一个重要的原理——鸽巢原理.

鸽巢原理是一种非常有意思的思想，它可以让看似复杂的问题变得简单.那什么是鸽巢原理呢？其中一种简单的表述法为：若有n个笼子和（kn+1）只鸽子，所有的鸽子都被关在鸽笼里，那么至少有一个笼子有至少（k+1）只鸽子（n，k≥0）.

在晏子“二桃杀三士”这个故事中，把两个金桃看作两个鸽巢，把三名勇士看作三只鸽子放进去，那么至少有两只鸽子（勇士）在同一个鸽巢里，即有两人必须合吃一个金桃.如果勇士们宁死也不肯忍受同吃一个金桃的羞辱，那么悲剧就无法避免.亲爱的小读者们，你们看懂这个数学原理了吗？

这个原理虽然简单，但在数学中却有广泛而深刻的运用.19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet，1805～1859）首先利用它来建立有理数的理论，以后该原理被逐渐应用到许多不同的数学分支中，如在数论、集合论、组合论等学科中都有许多重要的应用.因此鸽巢原理又被称为狄利克雷原理.

无独有偶，历史上还有这样一个典故：1947年，匈牙利数学家把鸽巢原理引入中学生数学竞赛中.当年匈牙利全国数学奥林匹克竞赛有一道试题是：

证明：在任意6个人中，一定可以找到3个互相认识的人，或者3个互不认识的人.

这个问题乍一看，似乎令人难以想象，让人感到十分玄妙而无从下手.其实，只要你懂得鸽巢原理，这道题的证明是十分简单的.

为方便计算，我们用A、B、C、D、E、F来代表6个人.从中随便找一个人，例如A吧，其余的5个人，可能与A认识，可能与A不认识.现在把“与A认识”和“与A不认识”当作两个“鸽巢”，把5个人放到这两个鸽巢里，根据鸽巢原理，有一个鸽巢里至少有3个人.不妨假定在“与A认识”这个鸽巢里有3个人，例如B、C、D在这一鸽巢里.用平面上的4个点来代表A、B、C、D4人，如果两人互相认识，就在代表他们的两点之间连一条线，于是，便得到图1：

图1

图2

再看B、C、D3人，如果他们3个人两两互不认识，我们就在这6个人中找到了3个互不认识的人，本题的结论已经获证.如果B、C、D3个人中，至少有两人互相认识，例如B与C互相认识，在B、C之间就要连一条线，如图2.这时，在6个人中就有A、B、C3人互相认识，同样证明了问题的结论.按照一样的方法，如果一开始假定在“与A不认识”这个鸽巢里有3个人，同样可证明问题的结论成立.

这道试题由于它的形式优美，解法巧妙，很快引起数学界的兴趣，被许多国家的数学杂志转载，它的一些变形或推广题，不断地被用作新的数学竞赛试题.几十年如一日，半个世纪以来长盛不衰.

读到这里，相信小读者们已经对鸽巢原理有了更清晰的认识.两个历史典故，彰显了鸽巢原理的神奇和伟大.关于鸽巢原理的应用，小读者们是否也想来挑战一下自己呢？是不是有摩拳擦掌、跃跃欲试的冲动呢？下面一个问题就留给小读者们思考：

任意给出5个不相同的自然数，其中最少有两个数的差是4的倍数.这是为什么呢？

（参考答案：一个自然数除以4有两种情况：一是整除，余数为0，二是有余数1、2、3.如果有2个自然数除以4的余数相同，那么这两个自然数的差就是4的倍数.把0、1、2、3这四种情况看作4个鸽巢，把5个不同自然数看作5个鸽子，必定有一个鸽巢里至少有2个数，而这两个数的余数是相同的，它们的差一定是4的倍数.所以任意5个不相同的自然数中至少有两个数的差是4的倍数.）

很多人会说，数学是枯燥乏味的.其实说这些话的人多数只看到了数学的严谨性，没有体会到数学的内在美.华罗庚先生曾说过：“就数学的本身而言，是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的……”事实上，在五彩缤纷的现实生活中存在着数学的美，在浩瀚飘渺的历史长河中同样也蕴含着数学的美.只要我们热爱生活，从数学的角度细心观察每一个现象、每一件事，努力挖掘其中的数学成分，有意识地运用数学，就能从另一个角度，体会到数学的妙趣横生，真正感受到数学的内在美.