概率知识是新课标高中数学的重点内容。下面例析概率问题的新考向,供大家学习与参考。

新考向1：程序框图

例1在可行域内任取一点,规则如图1所示的流程图,则能输出数对(x,y)的概率为( )。

图1

解：阅读程序框图,由程序框图可知不等式组表示的平面区域如图2所示,其面积为满足不等式x2+y2≤1的点表示的区域为图2所示的正方形的内切圆,其面积为π。

图2

故由几何概型可知能输出数对(x,y)的概率为应选C。

程序框图的输入框只是表示一个算法输入的信息,而处理框主要是赋值、计算。利用条件结构解决算法问题时,关键要分析判断框,判断框内的条件不同,对应下一步的内容和操作都要相应地进行变化。

新考向2：频率分布直方图

例22017年下学期某市教育局对某校高三文科数学进行教学调研,从该校文科生中随机抽取40名学生的数学成绩进行统计,将他们的成绩分成6段：[80,90),[90,100), [100,110),[110,120),[120,130),[130, 140]后得到如图3所示的频率分布直方图。

图3

(1)求这40个学生数学成绩的众数和中位数的估计值。

(2)若从数学成绩在[80,100)内的学生中任意抽取2人,求成绩在[80,90)内至少有1人的概率。

解：(1)众数的估计值为最高矩形对应的成绩区间的中点,即得众数的估计值为115。

设中位数的估计值为x,易知中位数在第4个小长方形内,则10×0.005+0.01× 10+0.02×10+(x-110)×0.03=0.5,解得x=115,所以中位数的估计值为115。

(2)从图中可知,成绩在[80,90)内的人数为m1=0.005×10×40=2,成绩在[90, 100)内的人数为m2=0.01×10×40=4。

设成绩在[80,90)内的学生记为a,b,成绩在[90,100)内的学生记为c,d,e,f,则从成绩在[80,100)内的学生中任取2人组成的基本事件为(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e), (b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f),共15种,其中成绩在[80,90)内的学生至少有1人的基本事件为(a,b), (a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),共9种。

在频率分布直方图中,中位数左边和右边的小长方形的面积之和是相等的。

新考向3：茎叶图

例3甲、乙两组数据的茎叶图如图4所示,其中m为小于10的自然数,已知甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数,则甲组数据的平均数大于乙组数据的平均数的概率为____。

图4

解：由茎叶图可知,甲组数据的中位数为25,平均数为

用茎叶图表示数据有两个优点：一是没有原始数据信息的损失,所有数据信息都可以从茎叶图中得到;二是茎叶图中的数据可以随时记录,随时添加,方便记录与表示。

新考向4：独特民俗登高节

例 4正月十六登高是“中国石刻艺术之乡”、“中国民间文化艺术之乡”四川省巴中市沿袭千年的独特民俗。登高节前夕,李大伯在家门前的树上挂了两串喜庆彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后4 s内的任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4s为间隔闪亮。那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2 s的概率是____。

解：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x,y,则全部基本事件构成的区域为而符合题意的事件构成的区域为即如图5所示的阴影部分。

图5

解答本题的主要步骤是：列出条件组,画出图形,计算面积,利用对立事件,求其概率。

新考向5：三角函数

例5已知函数f(x)=s i nx+,当x∈[0,π]时,f(x)≥1的概率为( )。

解：由函数,再利用三角函数的图像与性质可得到

根据几何概型的概率计算公式可得满足f(x)≥1的概率为应选D。

解答测度为长度的几何概型问题,只要将所有基本事件及事件A包含的基本事件转化为相应长度,即可利用几何概型的概率计算公式求解。此处的“长度”可以是区间的长短,也可以是时间的长短等。

新考向6：订购酸奶

例6某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完。根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关。如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶。为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得到的频数分布表,如表1所示。(以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率)

表1

(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率。

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y＞0的概率。

解：(1)设“六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶”为事件A。

由题意可知,所求概率P(A)=(2)由题意可知,当最高气温不低于25

时,Y=(6-4)×450=900,其概率P=

当最高气温位于区间[20,25)时,Y= (6-4)×300-(4-2)×(450-300)=300,其概率

当最高气温低于20时,Y=(6-4)×200-(4-2)×(450-200)=-100,其概率

综上可知,Y的所有可能取值为900,300和-100;Y＞0的概率为

本题的易错点是遗漏“不超过”的情况,从而产生错解。