王柄霖，龚季伟，赵明远，张亨宇，余同普



带凹槽平板型声透镜聚焦性能的理论分析与数值模拟

王柄霖，龚季伟，赵明远，张亨宇，余同普

(国防科学技术大学理学院，湖南长沙 410073)

基于相位补偿和惠更斯-菲涅尔原理，利用理论分析和数值模拟的方法，研究了一种带凹槽的平板型声透镜，讨论了凹槽个数、声透镜材料等参数对声透镜聚焦性能的影响。结果表明：优化后的菲涅尔声透镜聚声效率理论上可达40%，放大倍数约为7倍，是一种较为高效、成本低廉的新型声透镜。

菲涅尔声透镜；平板型声透镜；放大率

0 引言

随着声能的不断开发与利用，利用声透镜对声波聚焦的技术已经在水声、无损检测、医学诊断甚至军事等各个领域得到了广泛应用[1]。但是，一直以来人们对声透镜设计原理的研究却相对比较欠缺。1822年，菲涅尔发明了菲涅尔透镜[2]。这种透镜利用多个平行排列或同轴排列的棱镜组成不连续曲面，取代了此前透镜所采用的连续球面，从而聚焦光线。菲涅尔光学透镜结构简单，易于制造, 厚度较薄，具有较轻的质量，有助于获得更大的孔径与焦距比，因此在光学上应用广泛。1888年瑞利将其应用于声学领域，并做成瑞利声带板[3]，但声能浪费严重。虽然也有人提出可以用光学中R.W. Wood提出的相位延迟法来解决这一问题[3]，但未见有关文章发表。1962年，德国科学家Mataushcek曾指出可将光学中的菲涅尔透镜应用到声学透镜中[4]，但引起争议，因此一直无人将这种声透镜研制出来。

在上个世纪80年代，高健波等设计和分析了斜面、弧面、相位补偿带板几种菲涅耳声透镜[3]，张福成等又进一步运用物理光学原理，假设声能可以在没有损耗的情况下全部聚焦到焦点附近[5]。他们重点研究了理想条件下的声透镜的聚声效能，提出的平板型声透镜在焦点处的声强度增加了三倍[5]，并得到了初步的实验验证。此外，他们还利用R. W. Wood的方法，研究了无球差椭圆形菲涅尔声透镜[6]。然而，由于这种声透镜加工困难，造价大，一直未能实际制作和应用[7]。在理论上，这些声透镜的物理原理缺乏细致研究，其相关参数对最终声透镜的效能的定量关系也缺乏进一步分析[3,5-6]。

本文基于相位补偿和惠更斯原理，利用理论分析和数值模拟的研究方法，讨论了一种高效的带凹槽、平板型菲涅尔声透镜。首先计算了理想化条件下的放大率，然后分析声能损失原因，通过菲涅尔反射公式、吸声系数等计算声波的透过率，讨论在实际运用中声能的损耗；然后在理论上给出了相关参数和声透镜最终效能之间的定量关系，详细研究了凹槽个数、材料等参数对该声透镜性能的影响。结果表明，这种新型声透镜的放大率可达到7倍，效率约为40%，可以较好地汇聚声能，并可满足一般实际应用的需求。由于制作成本较低、原理简单，理论上是一种较为高效的声透镜。

1 基于菲涅尔透镜的声透镜设计

1.1 声波聚焦原理

1.2 菲涅尔声透镜的设计

图1 声透镜的效果图及原理

2 带凹槽平板型菲涅尔声透镜的性能

2.1 焦点处的声压

选一个环形半波带进行分析，对带的面积取一阶近似，对式(3)进行积分，得到半波带对点的总扰动为[5]

2.2 菲涅尔声透镜的效率

在上文计算声透镜的放大率时是在理想化条件下进行的，即声能在没有损耗的情况下全部会聚到焦点附近。但在实际中，必须要考虑声能的损耗，而此前的理论模型中都缺乏相关分析。

声透镜的效率是声透镜设计是否合理的重要依据，它可以定义为透镜中透射声波的总能量与入射到透镜上的声波能量之比。理论上，导致菲涅尔透镜声能损失的原因有以下四种，即反射损失、吸收损失、工艺性损失以及结构损失[1]。工艺性损失在方案中可以通过提高工艺，从脱模锥度、圆角等处减少损失。这里，结构损失是由于采用凹槽取代一般透镜椭圆状的弧面而导致部分声波发散而引起的能量损失。理论上，只能通过不断优化设计方案来减少。反射损失是当声波从一种介质入射到另一种介质时，在介质分界面因反射作用产生的损失[1]，它在声透镜效率中起着决定性的作用。根据菲涅尔反射公式，反射率可以表示为

3 菲涅尔声透镜聚焦性能的数值模拟

3.1 焦点处的放大率

图2 放大率-凹槽个数曲线

此外，根据普通菲涅尔透镜声压与声波传播距离的关系[3]，可以得到声轴上的声压分布如图3所示。可见，在声轴上，焦点在54.5 mm附近，焦点处声压达到峰值，而在焦点两侧会依次出现一系列次焦点，在次焦点声压达到极大值。次焦点的峰值与主焦点的峰值相比相差很大。这与此前的研究结果完全符合[7]。

图3 声压-距焦点距离曲线

3.2 菲涅尔声透镜的效率和放大倍数

这种菲涅尔声透镜的凹槽个数是声透镜聚焦性能中的重要参数。取树脂镜片为例，，，入射角度为5°。根据式(8)、式(9)，可得到声透镜的效率与凹槽个数、吸声系数、出射面到入射面之间的声程的定量关系，由此得到图4。图4(a)给出了凹槽个数和声透镜效率之间的关系。可知，随着透镜凹槽个数的增多，菲涅尔声透镜的效率逐渐变高。在声透镜制作过程中，主要考虑材料的选取。它会影响到吸声系数和声透镜的厚度，进而影响声透镜的性能。

总之，材料的选择是影响菲涅尔声透镜效率的重要因素，也是最容易控制的因素。声透镜的制作应当选择吸声系数低和出射面到入射面的声程短这两种特性的材料，这可为该类型声透镜的实际制作提供一定的参考。

在理论和数值模拟研究过程中，可能会有一些其他因素引起的误差。首先是菲涅尔衍射公式要求对波前进行无限分割，而菲涅尔半波带法对波前的分割较为粗糙[1]；其次是假设中忽略了声波在外部介质中传播的损失。在实际设计中，透过该声透镜的能量与理论值相比应该会偏小，但对计算结果的影响有限。这种声透镜在高功率的情况下吸收过多声能，容易损坏，需要进一步优化和改进[10-11]。该透镜主要适用于较小的超声波段，可以利用该透镜来提高声强，汇聚声能，因此有可能在某些涉及海洋、水声、军事和医学领域有潜在的应用价值[5,12]。

4 结论

本文基于相位补偿法和惠更斯-菲涅尔原理提出了一种新型的带凹槽的平板型菲涅尔声透镜。该透镜利用透过声透镜时各声波相位产生的变化，在焦点处聚焦声能起到放大作用。本文首先在理想状态下计算了声透镜放大率，同时考虑了非理想状态下的声透镜效率，理论上给出了效率与声透镜材料性能参数的定量关系。通过数值模拟，结合几种常见材料的分析，认为应当选择吸声系数低和出射面到入射面的声程短这两种特性的材料进行声透镜制作，同时在制作过程中尽量减小声透镜的厚度。理论分析和数值模拟研究表明，该声透镜放大率约为7倍，效率约为40%。此外，研究了声透镜的材料参数对聚焦性能的影响。这种带凹槽的新型声透镜能较好地聚焦声波，汇聚声能，同时，透过相邻波带的声束具有稳定的相位差，所叠加成的声场相差很小。理论上，由于这种透镜形状简单，加工成本低廉，便于设计和应用，在多个领域有潜在的应用价值。

[1] 李鹏, 吴贺利, 杨培环, 等. 菲涅尔聚光透镜的一般设计方法及效率分析[J]. 武汉理工大学学报, 2010, 32(6): 62-66. LI Peng, WU Heli, YANG Peihuan, et al. General design method and optical efficiency of the solar concentrator by fresnel lens[J]. Journal of Wuhan University of Technology, 2010, 32(6): 62-66.

[2] 许肖梅. 声学基础[M].北京: 科学出版社, 2003: 88-157. XU Xiaomei. Fundamentals of acoustics[M]. Beijing: Science Publishing House, 2003: 88-157.

[3] 高健波, 张福成, 赵恒远. 菲涅尔声透镜聚焦性能的研究[J]. 声学学报, 1988, 13(5): 369-375. GAO Jianbo, ZHANG Fucheng, ZHAO Hengyuan. Focusing properties of acoustic Fresnel lens[J]. Acta Acustica, 1988, 13(5): 369-375.

[4] TARNOCZY T. Sound focusing lenses and waveguides[J]. Ultrasonics, 1965, 3(3):115-127.

[5] 张福成, 郭孝武. 相位补偿平板型声透镜[J]. 山西师大学报, 1984, 2(2): 127-132. ZHANG Fucheng, GUO Xiaowu. Phase compensation plate sound lens[J]. Journal of Shaanxi Teachers University, 1984, 2(2): 127-132.

[6] 张福成, 郭孝武, 赵恒远. 准平板型声透镜的聚焦原理及其计算[J]. 应用声学, 1984, 3(4): 21-26. ZHANG Fucheng, GUO Xiaowu, ZHAO Hengyuan. The focusing principles and calculation of quasi plane acoustic lens[J]. Applied Acoustics,1984, 3(4): 21-26.

[7] 刘子博. 空气中波导型声透镜实现声聚焦的仿真与实验研究[D]. 长沙: 国防科学技术大学, 2013. LIU Zibo. Numerical simulation and experimental research on the approach of sound focus in the air using wave-guide acoustic lens m.s. thesis[D]. Changsha: National University of Defense Technology, 2013.

[8] 赵凯华, 钟锡华. 光学[M]. 北京: 北京大学出版社, 1981: 194-208. ZHAO Kaihua, ZHONG Xihua. Optics [M]. Beijing: Peiking University Press, 1981: 194-208.

[9] CALVO D C, NICHOLAS M, THANGAWNG A L, et al. Focal properties of an underwater acoustic Fresnel zone plate lens[J]. Journal of the Acoustical Society of America, 2015, 138(3): 1948-1948.

[10] PENG P, XIAO B, WU Y. Flat acoustic lens by acoustic grating with curled slits[J]. Physics Letters A, 2014, 378(45): 3389-3392.

[11] MOLERON M, SERRA-GARCIA M, DARAIO C. Acoustic Fresnel lenses with extraordinary transmission[J]. Applied Physics Letters, 2014, 105(11): 103-104.

[12] CALVO D C, THANGAWNG A L, NICHOLAS M, et al. Design and testing of an underwater acoustic Fresnel zone plate diffractive lens[J]. Journal of the Acoustical Society of America, 2014, 136(4): 2252-2252.

Theoretical analysis and numerical simulation on the performance of a flat-type acoustic lens with fluted rings

WANG Bing-lin, GONG Ji-wei, ZHAO Ming-yuan, ZHANG Heng-yu, YU Tong-pu

(College of Science, National University of Defense Technology, Changsha 410073, Hu’nan, China)

Based on phase compensation and Huygens-Fresnel principle, a flat-type acoustic lens with fluted rings is proposed and researched by using theoretical analysis and numerical simulation. The influences of various factors such as the number of grooves and the materials during the manufacturing process on the performances of the lens are discussed. The results show that the efficiency of the optimized Fresnel lens can be up to 40% with a magnification of about seven times, making it a potential candidate of high efficiency and low-cost acoustic lens.

acoustic Fresnel lens; flat-type acoustic lens; magnification rate

O42

A

1000-3630(2018)-01-0001-05

10.16300/j.cnki.1000-3630.2018.01.001

2017-01-16;

2017-04-23

国家自然科学基金面上项目(11474360), 国防科技大学科研项目“杰出青年基金”(JC14-02-02)

王柄霖(1996－), 男, 山东烟台人, 研究方向为空气声学。

余同普, E-mail: tongpu@nudt.edu.cn