潘泽源

【摘 要】在机器人机构误差分析中应用泛灰数学，可以从根本上提升其计算的精确度，以满足实际的设计需求。但在实际的应用过程中，还存在一些不足之处与问题，影响机器人机构误差分析效率，例如，分析理论传统、分析方法不合理等。基于此，作者结合自身工作经验，对泛灰数学在机器人机构误差分析中的应用进行分析，以供相关人员参考。

【关键词】泛灰数学；机器人；误差分析

中图分类号： TB11 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2018）02-0131-002

【Abstract】Applying the pan grey mathematics to the error analysis of robot mechanism can improve the accuracy of its calculation in order to meet the actual design requirements.However，in the practical application process，there are still some shortcomings and problems，which affect the efficiency of the error analysis of the robot mechanism.For example，the analysis theory tradition and the analysis method are unreasonable.Based on the work experience，the author analyzes the application of the grey mathematics in the error analysis of the robot mechanism for reference.

【Key words】Pan-grey mathematics；Robot；The error analysis

0 引言

泛灰数学在机器人机构误差分析中的应用，为实际的误差分析提供了新方法与新理论，可以有效的满足当前时代的需求，具有较强的应用价值。例如，在机器人的手臂设计过程中，设计人员除了对相關的杆件、关节等原理与构造进行设计外，还需要结合设计的实际需求，对各杆件与关节的精度进行测量，以满足实际的设计需求。

1 泛灰数学分析

1.1 泛灰数学的发展

区间分析又被人们称为区间数学，其最早的应用目的是对相关的误差进行分析研究，以保证明确其误差的大小，在实际的运算过程中，相同的自变量受运算次序不同的影响，可能会导致产生不同的扩展区间。例如，张纪元在对机械误差进行分析时，灵活利用三角函数的单调性，通过扩展进行区间法分析，但在实际的分析过程中，利用区间分析法可能出现误差区间出现超差情况，误差区间范围过大，直接影响分析结果。基于此，通过不断的完善与创新，灰色系统理论概念被提出，标志着一门崭新的数学研究领域的发展，同时，相对应的“灰集合”概念逐渐衍生，区间灰数的运算法则逐渐明确。在实际的运算过程中，灰运算与区间数学具有相同的特性，部分代数性质难以表现，因此，泛灰数学概念逐渐提出，为机器人机构的误差分析奠定良好的基础。

1.2 泛灰数学概念

当前，人们将泛灰数学定义为：设论域U=R，R为实数集，则将R上的泛灰集成为泛灰数集，并将其有效的记为g（R），同时，称g（R）中的相关元素为灰数集，记作：g=（x，〖μ1，μ2〗），x∈R，μ，μ∈R①，在①中，x值代表观测值，〖μ，μ〗代表灰信息部，并将g（0）=（0，〖0，0〗）称为g（R）中的零元，将g（1）=（1，〖1，1〗）称为g（R）中的单位元。同时，如果观测部为零，则将灰信息部中的不为零的泛灰数集记为g（0）′，并称为亚零元，并且，将零元与亚零元统称为泛零元，记为g（0）′′。以泛灰数学的概念为基础，逐渐对泛灰的除法与加法运算进行定义，同时，利用加法运算定义与负元定义对减法进行定义，利用相关的逆元定义进行除法运算定义，同时，明确各运算定义的规律性，例如，泛灰加法运算定律可以满足交换律与结合律，具有封闭性特点，且存在唯一的零元；泛灰乘法运算定律与加法定律相同，同时还可以满足分配率。

1.3 区间灰数与泛灰数的转化分析

以泛灰数的定义为基础，在实际的运算应用过程中，可以将实际的泛灰数中（x，〖μ1，μ2〗）中的μ看作为数值x的最高或者最低的信任程度，以实际的数字为例，例如，μ1=0.5，μ2=0.7，则可以明确x的可信值在0.5x与0.7x之间，并用区间数进行合理的表示，表示为[0.5x，0.7x]。同时，应对μ的范围进行有效的限制，μ∈[-1，1]。同时，当A[a，b]∈I（R）时，其数值均可以利用合理的泛灰数进行表示：（x，〖μ，μ〗）表示，例如，以实际的数值为例，主要分为四种：

第一种，当a>0时，存在[a，b]=（b，〖a/b，1〗），如实际数值的区间灰数：[1，2]=（2，〖0.5，1〗）。

第二种，当ab<0时，并且max{a，b}=b时，存在[a，b]=（b，〖a/b，1〗）情况，如实际的数值区间灰数：[-1，2]，由此可知，此时的a=-1，b=2，而max{-1，2}=2，ab=-2，则可以得出[-1，2]=（2，〖0.5，1〗）。

第三种，当ab<0时，并且max{a，b}=a时，存在[a，b]=（a，〖b/a，1〗）情况，如实际的数值区间灰数：[-2，1]，由此可知，此时的a=-2，b=1，而max{-2，1}=2，ab=-2<0，则可以得出[-2，1]=（-2，〖-0.5，1〗）。

第四种，当b<0时，存在[a，b]=（a，〖b/a，1〗），入实际的数值区间灰数：[-2，-1]，由此可知，此时的a=-2，b=-1<0，则可以得出[-2，-1]=（-2，〖-0.5，1〗）。

通过上述的泛灰数与区间灰数的转化可知，以相关的函数为基础，在实际的运算过程中，只要将区间灰数进行合理的输入，利用该函数就可以求出相对应的泛灰数，以满足实际的运算需求。

1.4 对泛灰函数的区间分析功能进行分析

泛灰数的实际应用，属于实数的推广，在推广应用过程中，泛灰函数保留了相关的函数性质，与区间数学相对比，具有明显的优势，例如，具备区间分析功能优势，利用该功能优势，解决运算过程中遇到的问题。

2 泛灰运算软件开发分析

MATLAB属于数学软件，以矩阵运算的快速解释程序为核心，在实际的应用过程中，利用交互的方式，对用户的各种指令进行合理的分析，并输出明确的结果。泛灰运算软件的应用，为实际的分析提供了良好的集成开放环境，用户在使用过程中，可以进行大量的系统命令，例如，命令绘图、进行数值运算等。实际上，MATLAB提供了数量较多的工具箱，帮助工作人员进行合理的问题处理，并利用其解决实际问题，灵活利用技术资源，以满足当前的实际需求。因此，以现阶段的泛灰数学为原理，以实际的，MATLAB为基础，进行技术开发，开发出符合当前需求的泛灰运算工具箱。在实际的技术开发过程中，其主要的开发思维是以泛灰运算、区间灰数以及泛灰转化为依据，进行合理的转化，编制成完善的M文件，并建立合理的子文件，开发出合理的泛灰运算软件，以满足当前实际的需求。

3 泛灰数学在机器人机构误差分析中的应用

以PUMA型机器人为基础，进行合理的误差设计分析，在实际的设计过程中，首先要求机器人设计任务符合执行功能的精度要求，利用合理的尺寸链达到精度目标，以此来保证机器人的精度符合标准。

3.1 明确机器人机构的泛灰误差分析整体步骤

3.1.1 方程建立

在实际的分析过程中，需要分析人员结合实际研究情况建立完善的位置方程，设方程为f（q，l，x）=0，并且变化矩阵d（q，l，x）=0，在方程中，q为输入运动参数已知量，l则为机构参数；x为实际的待定输出构件位置参数数值，其中，q0、l0以及x0均为理想状态下的机构位置数值。

3.1.2 泛灰的拓展

在运算分析过程中，将方程中的三个数值分别进行假设，例如，设方程f中q，l，x分别为A，X，Y，由此可知向量值函数f1（q，l）在A、X中的泛灰拓展数值为F1（A，X，Y）=0，并且其变换矩阵为D（A，X，Y），因此，利用合理的泛灰软件进行合理的运算，并求出相对应的解。

3.2 对PUMA机器人机构的误差进行分析

3.2.1 误差分析

在PUMA机器人机构中，利用现阶段的矩阵描述方法进行合理的变换矩建立，首先将机器人的杆件的进行合理的划分，并按照顺序进行排序，以第一个杆件为基础，记为i，并以此类推。此时可以有效的得出Ai的数值：[cosθi-sinθicosαisinθisinαiαicosθi]，[sinθicosθicosαi-cosθisinαiαisinθi][0sinαicosαidi][0001]。在数值中，θi主要是指xi围绕zi轴进行合理的旋转，当旋转到一定的角度时，xi与xi+1重合时旋转的总角度值。di是指按照zi的方向进行合理的旋转，代表从i标架原点Oi至zi与xi+1的交点间的距角度数值，而ai是指按照xi方向进行合理的旋轉，代表zi与xi+1的交点i的标架原点Oi的距角数值，αi是指绕xi轴进行合理的旋转，从zi到zi+1的角度数值，在实际的旋转过程中，其角度的方向依据右手定则原则进行规定。在实际的运算过程中，利用上述Ai的数值进行求解，有效的求出机器人手臂的变换矩阵数值，并将其记为Tn，由此可知，案例PUMA机器人的手臂变换矩阵数值等于T6=T1T2T3T4T5T6=[nxOxaxpx][nyoyaypy][nzozazpz][0001]，并且由此可知，其矩阵的数值为[nxOxax][nyoyay][nzozaz]，该数据值表示为机器人手臂末端的支架的姿势，而实际的向量数值[px][py][pz]则表示机器人手臂末端标架原点的坐标数值，通过对机器人手臂变换矩阵数值进行有效的计算，明确相关的数据均为泛灰数，并且，将计算过程中涉及的常数也作为泛灰数值，通常情况下，作为一种特殊的泛灰数值处理。

3.2.2 参数分析

实际上，PUMA机器人存在大量的基本参数，其主要参数包括输入参数矩阵、机器人姿势误差以及机器人手臂末端标架的位置参数等。在计算过程中，计算人员通常将上述参数表示为区间参数，通过相应的软件程序，进行自动的计算与输入，完成输入后，输出实际的参数值，并进行合理的表示。上述过程的主要目的是对实际存在的单独误差进行合理的考察，并分析由单独误差引起的实际姿势误差与末端标架位置误差，为后续的分析提供参考依据，合理进行平行度误差与垂直误差数据的选择，保证分析结果的准确性。通过有效的实践，可以明确该验证分析方法的时效性与准确性，例如，在实际的误差分析过程中，将相关的基本参数与误差进行结合，并将其表示为区间数，通过运用合理的泛灰数，可以高效的计算出各参数的实际区间表示，此时分析人员可以以实际的区间表示为依据，明确各误差与各尺寸对实际的各个输出参数的影响情况，以满足实际的机器人机构误差分析需求。灵活应用现有的泛灰运算工具箱，在已知各参数验算输出参数的误差是否满足实际的误差需求，还可以对各个输入参数的实际误差进行分析，并分析该参数误差对输出参数的实际影响，从根本上确定各参数的公差与偏差。

4 结论

综上所述，泛灰数学在机器人机构误差分析中的应用，为机器人机构运动误差分析提供了新方式，并利用泛灰数学自身的性质特点与优势，将分析的整体步骤进行简单化，保证分析结果的直观性与可靠性，提升分析效率。泛灰数学在机器人误差分析、灵敏度分析以及复杂机构分析中具有广阔的应用前景，符合当前时代的要求。

【参考文献】

[1]祁力群.区间分析[J].运筹学杂志，1982，（1）：151-156.

[2]张纪元，沈守范.计算机构学[M].北京：国防工业出版社，1996.