霍冠泽, 林亭秀, 王林君

(1. 吉林大学 数学学院, 长春 130012； 2. 江苏大学 理学院, 江苏 镇江 212013)

1 预备知识

1.1 解的猝灭现象

半线性抛物方程解的猝灭问题在工业生产、 弹性体的断裂过程研究[1]及化学催化反应和酶反应的动力学描述[2]等领域应用广泛, 它反映燃烧过程以及火箭燃料在爆炸过程中的稳态与不稳态之间的转换现象, 对于猝灭条件的研究有利于构建最佳的燃烧环境, 了解更精确的燃烧过程[3].

本文考虑如下抛物问题猝灭解的数值计算方法：

(1)

定义1令u=u(t,x)是方程(1)定义在t>0,x∈Ω上初值问题的解,Ω⊂m是有界区域, 如果‖ut‖∞在有限时间T处趋于无穷, 则称解u具有猝灭现象, 此时T定义为猝灭时间.

由定义1可知, 方程的解是否表现出猝灭现象的决定条件是u对t导数的最大模是否在猝灭时间处趋近于+∞, 而并不是u是否在猝灭时间处趋近于0, 例如问题(1)的解在时间接近猝灭时间时, 解u→1.

1.2 B方法

解发展方程数值解的B方法[12]用来解决带有爆破现象的半线性发展方程. 传统的时间迭代方法, 如方程ut=Δu+F(u)向后Euler格式：

un+1-un=h(Δun+1+F(un+1)),

其中:un+1表示u(tn+1);h表示时间步长. 其数值解的收敛速度依赖于u和u的导数大小, 而这两项在爆破时间附近时至少有一个非常大, 因此数值解的收敛速度很慢, 有时对于给定的时间步长h甚至不收敛, 而B方法很好地克服了上述问题.

假设常微分方程ut=f(u)的精确解已知, 考虑扰动方程：

ut=f(u)+εl(u),

(2)

其中εl(u)为空间微分项, 即扰动项. B方法是在解非线性常微分方程变异系数法的基础上进行修正得来的, 适用于解方程(2)这种半线性或拟线性的抛物方程.