焦 鹏 朱 海 高大远

（海军潜艇学院 青岛 266000）

1 引言

由于UUV在水下长时航行时采用惯性导航系统会存在误差累积问题，因此需要对其进行校正，常用的北斗系统、GPS需要其定时浮起，不利于保持UUV隐蔽性。因此，目前水下常采用水声定位的手段进行校正，而水下单标定位系统由于布放简单、各信标独立工作等优点，已逐渐成为了水声定位技术的一个新的发展方向。但是水下单标定位技术对UUV自身航迹有一定要求，在特殊航迹下存在着导航算法失效的问题，基于此，本文引入非线性系统中的局部弱可观测性概念对该问题进行分析，并给出了几类满足可观测性要求的轨迹。

2 非线性系统可观测性定义

考虑如下所示的非线性系统：

其中x∈Rn为状态向量，u为输入向量，y为观测向量，f与h为C∞内光滑的函数。

定义1 在任意系统允许的输入下，如果满足初始条件x(0)=z和 x(0)=z′的状态量在时间[0，tf]产生相同的输出，则认为z与z′是不可区分的。

定义2 对于每个 z∈Rn，令Γ(z)⊆Rn代表所有与z不可区分的状态量集合。对于z∈Rn，如果其不可区分量为其本身，即Γ(z)=z，则称系统在z点是可观的，如果对于任意z∈Rn都满足Γ(z)=z，则称系统可观。

定义3 如果对于z∈Rn，总存在输入u(t)使得z是Γ(z)上的孤立点（即存在一领域使得z∈Rn在该领域上满足Γ(z)=z），则认为系统在z点是局部弱可观的，如果对于任意点z∈Rn都是局部弱可观的，则称该系统局部弱可观。

即根据非线性控制系统的局部弱可观的定义，只要存在着一种输入使得系统状态量可以区分即认为是局部弱可观的，这意味着在特定输入下，系统仍然存在着不可观测的问题，即UUV在采用特定航行轨迹时SBP系统仍有可能无法完成导航定位。

为了方便就不同轨迹下系统可观测性问题进行分析，我们给出一种更弱的可观测性定义，以方便进行后续分析。

定义4 在特定输入u(t)下，如果满足初始条件 x(0)=z和 x(0)=z′的状态量在时间[0，tf]产生相同的输出，则认为z与z′是在u(t)上不可区分的。

定义5 对于每个 z∈Rn，令 Γu(t)(z)⊆Rn代表所有与z在特定输入u(t)下不可区分的状态量集合。对于z∈Rn，如果其不可区分量为其本身，即Γu(t)(z)=z，则称系统在z点是在u(t)上可观的，如果对于任意z∈Rn都满足Γ(z)=z，则称系统在u(t)上可观。

定义6 如果对于 z∈Rn，使得 z是Γu(t)(z)上的孤立点（即存在一领域使得z∈Rn在该领域上满足Γu(t)(z)=z），则认为系统在 z点是在u(t)上局部弱可观的，如果对于任意点z∈Rn都是在u(t)上局部弱可观的，则称该系统在u(t)上局部弱可观。

3 不可观测轨迹分析

1）二维模型下特殊可观测轨迹分析

其中VC为UUV所在海域的海流值，HC为UUV所在海域海流流向，VCN、VCE分别为沿当地地理坐标北向与东向的海流分量，θ为UUV相对于信标的方位角，r͂为测得的信标与UUV之间的距离。

则UUV在极坐标系下的模型为

根据定义6可知，对于满足局部弱可观测性要求的路径，我们只能保证估计的状态量在其某个邻域内可区分点只有其自身。也就是说，在更大的范围内，即使是在满足了局部弱可观测性要求的轨迹下机动，仍然有可能存在着与真实状态量不可区分的状态。即如果UUV初始状态估计误差较大从而脱离了真实状态满足可观测要求的邻域范围，则SBP定位系统仍然不可观测。

考虑到UUV在水下工作时多采用定速直线航行，本节重点就在采用定速直航轨迹下的可观测性进行分析。分别设 r͂1(t)、r͂2(t)为两条不可区分轨迹的距离测量值，H1(t)、H2(t)为两条不可区分轨迹的偏航角测量值，θ1(t)、θ2(t)代表各自的方位角。并且易知两条轨迹有同样的输入信息和输出信息，由此可得对于任意时刻满足：

即对于轨迹 P1()，θ1(t)，H)，其不可区分的轨迹为 P2(͂1(t)，2Hm- θ1(t)，H)。

根据计算画出两条轨迹，如图2所示。

其中，实线为实际的轨迹，虚线为AUV的不可区分轨迹，由图可知两条轨迹为互相平行的直线，起点分别为 (͂(t0)，θ1(t0))，(͂1(t0)，2Hm- θ1(t0))。

结论：UUV采用定速直航时，其不可区分轨迹为与真实航迹关于过信标所在点且方向沿UUV真实轨迹方向的矢量对称的轨迹。

由上述分析可知，当UUV初始估计误差较大时，利用SBP技术导航很有可能是收敛到与真实轨迹平行的不可区分轨迹上的。

2）三维模型下特殊可观测轨迹分析

本小节通过研究一类三维特殊轨迹下的可观测性问题来验证利用二维模型分析结论的有效性。

给定输入量为u2(t)=a，u3(t)=0，即UUV采取俯仰角保持常值α0，初始偏航角为H0，偏航角速度为a，航行速度为常值V（V、VC代表航行速度与航行海域的海流速度，均为矢量形式）的螺旋线航行轨迹。本小节重点对该轨迹下的可观测性问题进行研究。根据以上分析，UUV在该轨迹下航行的动力学模型为

变控制理论状态方程的求解方法可得：

（1）考虑偏航角速度为零的情况，即a=0

则模型可化为

结论：在三维模型下，只选取信标测距与偏航角作为观测量信息时，UUV采取定速直航轨迹是不可观的。其不可区分点集为Γa=0(x0)==R(B，β)x0，β∈(-∞，∞)}。将所得结论利用图像进行直观的分析，如图3所示。

实线代表UUV真实航迹，其与矢量B平行，与x0不可区分的点集为虚线环形轨迹，可得，UUV真实轨迹的不可区分轨迹为任意起始点在图中虚线环形轨迹上，且与真实轨迹航行方向平行的轨迹上（如图虚线所示）。

考虑到UUV自身携带有深度传感器可以获得其实时的深度值Z0，因此与UUV真实轨迹不可区分的轨迹如图4所示。

由图可知，当考虑深度信息后UUV的不可区分轨迹为图中虚线所示，其水平分量与真实轨迹水平分量关于B的水平分量对称。该结论与二维简化模型下得到的“UUV定速直航时其不可区分轨迹为与真实航迹关于过信标所在点且方向沿UUV真实轨迹方向的矢量对称的轨迹”结论一致。

（2）考虑偏航角速度不为零的情况，即a=a0时

则模型可化为

则根据线性时变控制理论状态方程的求解方法可得：

根据矩阵论中的克莱姆法则可知，为保证上述 方程有唯一零解，即-)=0，则：

结论：不考虑深度信息当UUV俯仰角为零时，x0的不可区分点x′0与x0关于信标所在的水平面对称。当UUV俯仰角不为零时，x0的不可区分点集为x0本身，即在该种航行轨迹下系统可观。

而考虑深度测量值信息后，当UUV俯仰角为零时，易知x0的不可区分点集为x0本身，即系统可观。即当考虑深度测量值信息后，当UUV偏航角不为零时系统是可观的。该结论与二维简化模型下得到的结论一致。

4 结语

由于UUV在采用水下单标定位时存在着不可观的问题，本文利用非线性控制理论中的更弱的局部弱可观的概念对该问题进行了分析，在二维平面内，当UUV采用定速直航时，如果UUV初始误差较大，则采用SBP估计UUV位置时可能会收敛到与真实航迹关于“过信标所在点且方向沿UUV真实轨迹方向的矢量”对称的轨迹上。在三维空间内，当UUV采用定速直航时，仍存在利用SBP估计UUV位置时可能会收敛到与真实轨迹关于“过信标所在点且方向沿UUV真实轨迹方向的矢量”对称的轨迹上去的可能。而在UUV采用俯仰角速度为零，偏航角速度不为零的螺旋形轨迹条件下，当UUV获得深度量测量信息时，利用SBP估计UUV位置是全局可观的，即不存在不可区分轨迹。

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