吴任国

（海军装备部驻武汉军事代表局 武汉 430064）

1 引言

本文研究了基于误差几何稀释度（GDOP）测量的传感器与目标间相对位置测量矩阵（MOM），通过测量矩阵求解最小测量误差稀释度的传感器几何配置，从而获得目标最小均方根误差［1～3］。

为了获得计算GDOPMOM必须的数学框架，本文如下介绍：首先最大似然估计用于解决交叉定位问题。采用基于线性测量模型的误差敏感性分析作为GDOPMOM的一种表达方式，GDOPMOM作为传感器-目标几何关系公式，将传感器测量无和目标位置误差关联。为了证明GDOPMOM对融合算法的影响，GDOP关联关系进一步用于计算纯方位测量传感器和目标几何位置。以两站及三站纯方位传感器最小GDOP和相关的指定目标-传感器几何关系为例，通过绘制二三维相对误差等高线图观展示传感器配置误差稀释度。以上分析结果用于在应用中选择M个传感器最优目标-传感器几何配置。GDOPMOM是通用的，可用于扩展到其他测量传感器和融合算法。

2 位置配置问题

通过两站及以上传感器纯方位定位目标位置。一般，N维状态向量 Xˉ(n×1)表示目标位置，本文n=2。采用M（M=2或者3）传感器进行纯方位测量，本文阐述评估理论建立讨论问题的数学基础，为介绍特定的纯方位测量几何配置作准备。

假设 Xˉ是未知参数向量，在 Xˉ条件下概率函数 Zˉ表示为

其中R是M×M测量误差协方差矩阵， ||R是R的行列式。

依据式（3）的指数部分，最大似然相似度估计（MLE）转换为最小化二次方程形式：

式（4）等价于最小二乘估计（LS）［1，3］。

依据式（4），线性总量Q(Xˉ)表示为

如果M＜n（测量值少于待估计的传感器坐标，“少确定情况”），且式（7）中 (GTR-1G)-1GTR-1由伪逆表示。如果M＞n，融合更多信息获取更好的位置估计，即大部分传感器融合系统中典型的“过确定情况”。

式（7）定义的协方差误差矩阵x̂：

大多数情况下R是对角线矩阵，P由G（传感器和目标几何关系）和作为比例因素的R矩阵对角线元素取逆直接相关函数。本文最优估计状态（位置）误差协方差矩阵P是不相关测量误差协方差（输入）到状态误差协方差（输出）的几何转换。

3 定位精度

图1描述了X-Y平面内三站纯方位探测一目标。每个传感器相对于公共坐标参考，例如笛卡尔系统中的X轴进行方位角测量。由于探测误差影响，目标定位于如图所示形成的三角形中。本文主要分析定位精度，因此假设目标位置已知且目标位于纯方位线交叉点处［4～7］。

通过得到表示传感器和目标几何关系的函数G，可计算传感器探测误差相关的误差协方差矩阵最优估计P［8～10］。P是考虑测量误差的误差协方差传播方程（输入）转换为上文提及的定位误差最优估计（输出）。

4 几何误差稀释度（GDOP）

文献［3］定义归一化几何误差稀释度（GDOP）为均方根位置误差（输出）与均方根测距误差比值。均方根测距误差作为标准化因素，将产生目标位置的独立最优估计。因此，GDOPN测量将测量误差映射到通过传感器和目标之间的几何关系相对于最佳均方根测距测量误差放大的位置误差。本文计算GDOPN最小值，对于同样地传感器到目标范围，GDOPN最小值将与范围参数无关。GDOP非归一化测量作为几何函数，将映射测量误差为位置误差。一般，以上表达均可用于计算传感器最优配置［11～13］。

根据2.1节的推导，均方根位置误差（输出）是式（8）P的迹的开方。均方根测距误差是所有传感器的 riθi的均方差：

4.1 GDOP计算

针对指定的传感器，首先建立方程的相应元素通过式（15）计算GDOPN和式（16）计算GDOP。本例M=2，n=2，根据式（13）代入G（2）得到式（17）：

根据式（15）得到GDOPN（2），根据式（16）得到GDOP（2）：

对应的两站最优几何配置如图2所示。

类似两站方式进一步推导三站纯方位配置，首先计算式（15）和（16）相应元素。本例M=3，n=2，代入G（3）得到式（20）：

对应的三站最优几何配置如图3所示。

4.2 GDOP等高线

以上章节通过两站和三站案例分别计算GDOP（N）（2）和GDOPN（3），分别对应两站和三站案例。GDOP（3）使用三个几何参数，形成一个等边三角形和两个钝角三角形的配置（其中所包含的钝角在“钝角2”配置中大于“钝角1”配置）。传感器放置于三角形的顶点上。以上配置形成的GDOPN（2）和GDOPN（3）等高线如图4和图5所示。通过100×100矩阵，表示超出图中所选值的几何范围的10000种可能目标位置评估GDOPN（2）和GDOPN（3）等式。描述所选几何范围值的X轴和Y轴单位：米。一般坐标轴单位是任意的且与应用程序相关。

在两站案例中避免如图4所示峰值孤立区域描述的两传感器连线GDOPN（2）值。仅在孤立值周围区域描述GDOPN（2）。

通过平面图和三维立体图描述以上配置的GDOPN（2）和GDOPN（3）。另外，在三维图的对称部分中心线上进行的垂线图（X=0），描述关于传感器-目标位置的代表性相对GDOPN（3）值。

5 结语

本文引入了新的几何测量矩阵GDOPMOM。通过使用线性化测量模型的误差协方差变换方法推导出GDOPMOM。GDOPMOM能够推导出满足最小测量误差稀释度和最小最小二次方位置误差的最优传感器-目标几何配置，同时在仅有两站探测目标时，融合第三个传感器能够获得更多信息并提高位置估计。

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