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(集美大学理学院，福建 厦门 361021)

0 引言

定义1 设(X1,X2)的联合生存函数为

(1)

其中常数λ1，λ2，λ12>0,称(X1,X2)服从参数为λ1，λ2，λ12的二维Marshall-Olkin指数分布，记为(X1,X2)～BVE(λ1,λ2,λ12)。

二维Marshall-Olkin指数分布由Marshall-Olkin[1]首次提出，该分布的概率解释可参见文献[2]。容易得出，二维Marshall-Olkin指数分布是不相互独立。

下面给出广义二维Marshall-Olkin分布的定义。

定义2 设非负随机变量Si的分布函数为Gi,i=1,2,3。如果(X1,X2)的联合生存函数为

(2)

称(X1,X2)为广义二维Marshall-Olkin分布，记为(X1,X2)～GMO(S1,S2,S3)。

广义二维Marshall-Olkin分布见文献[3]。

设(X1,X2)～GMO(S1,S2,S3)，则边际生存函数分别为：

随机序的定义可参见文献[4-6]，它们在可靠性理论、保险精算领域应用广泛。

显然上面随机序有如下关系:X≤lrY⟹X≤hrY⟹X≤stY,X≤stY⟹X≤icvY(见文献[5])。

从定义3可以得出随机序概念的意义。设X,Y分别表示两个元件的寿命，X≤stY表示元件X的可靠度小于元件Y的可靠度；X≤hrY表示元件X的故障率大于元件Y的故障率。

次序统计量的研究是学界的研究热点，已引起国内外学者的广泛关注，最大次序统计量对应着并联系统寿命。近年来，很多学者在独立假设下研究次序统计量，如：文献[7]探讨了相互独立不同分布的样本次序统计量在故障率序下的随机比较性质，并得到了两个独立具有指数分布的部件并联系统的故障率的上界； 文献[8]研究了多个相互独立具有不同指数分布的部件并联系统故障率的性质，并得到了多个不同的指数分布部件并联系统故障率的上界，该上界优于文献[7]得到的。更多的结果，可参见文献[9]。

文献[10]在相依假设下研究了两个部件的并联、串联系统的随机比较性质。在两部件服从Marshall-Olkin指数分布条件下，研究了两个部件的并联、串联系统在故障率序意义下的随机比较性质。