孙嘉庆, 陈聪, 危玉倩, 李定国

(海军工程大学 基础部, 湖北 武汉 330031)

0 引言

递推算法是指在一定的递推模型基础上，利用体系内部各分体系之间的分布、边界、数量等相关规律，建立递推关系，再依据递推关系逐步递推求解的方法[1-3]。微分法则是通过对整体进行合理划分，利用微分学公式来对复杂问题进行求解的方法[4]。在工程计算中，对于受多种交叉因素所影响的复杂体系而言，由于传统的解析法一般都是从体系的整体性质或边界条件出发，受交叉因素的复杂性影响，直接采取解析法来对体系进行分析往往比较困难。相比之下，利用递推算法与微分法相结合的微分递推法，先对体系进行合理划分，再从体系内部各分体系之间的递推关系出发，往往能够大大简化分析计算过程。

船舶静态电场是重要的水下军用目标特性，由于测试条件的限制，实际应用中往往需要进行电场分布的深度换算[5-6]。而由于场域边界的存在及船舶附近海水区域中腐蚀电流和防腐电流的复杂性，使得船舶静态电场的深度换算成为一个难题。文献[7]将舰船静态电场的场源等效为一组电性模拟体，借助测量平面上电场强度三分量的数据和分布特征反演出场源的参数，再通过这些参数求解出其他深度平面上的电场强度三分量的分布。尽管从理论上讲，这一方法适用于各类深度换算问题，但若希望对模拟源的所有参数进行准确反演，则对算法的要求非常高，实际应用中很难实现。文献[8]从舰船静态电场的物理特性出发,提出基于拉普拉斯方程的静态电场深度换算方法，实现了由静态电场的某分量向较大深度该分量的自换算，由静态电场的垂直分量向较大深度其他分量的互换算以及由静态电场的水下标量电位实现向较大深度的电场各分量换算。这种方法在一定程度上降低了计算量，但由于拉普拉斯方程对边界条件的要求，这一方法无法实现在浅海区域内的深度换算。

徐世浙[9]给出了解决地磁勘探领域位场延拓的积分迭代法,受此启发，闫辉等[10]、胡英娣等[11]提出利用微分递推法解决电场和磁场深度换算问题的方法，并对换算结果进行仿真分析，说明了微分递推换算法的可行性，但却只给出单一方向换算问题的换算结果，没有进行进一步误差分析。

本文针对微分递推换算法在舰船静态电场深度换算问题中应用的方法及误差来源开展研究。由水平测量平面上网格节点处电场强度三分量的测量值获得其水平偏导数，再利用换算区域内静态电场的无源、无旋特性，得到电场强度三分量竖直方向上的1阶偏导数。通过对换算区域的离散化处理，在两相邻深度平面之间建立以牛顿- 莱布尼茨公式为基础的递推关系，通过逐层递推，实现场分量的深度换算。同时以舰船电场的基本模拟单元——水平电偶极子产生的电场为对象，对由近及远和由远及近两类换算问题进行仿真分析，论证微分递推换算法在一定换算深度范围内的可行性，并对测量平面的节点间隔、递推步长、海水深度等因素对换算误差的影响进行研究，给出换算误差随上述因素的变化规律。

1 微分递推换算法

1.1 微分递推原理

船舶静态电场的深度换算问题分为两类：一类是由近源平面向远源平面的换算问题，即在靠近源(船)的平面上对场进行测量，由此换算至离源较远的目标平面上，称为由近及远换算，如图1所示；另一类是由离源较远的测量平面向离源较近的目标平面的换算问题，称为由远及近换算，如图2所示。在测量平面与目标平面之间以Δz为间隔插入N-1个等间距的平面，如图1、图2所示。根据递推法的基本思路，只要得到两相邻中间层平面上电场强度三分量之间的数值关系，就可以通过循环递推N次，得到目标平面上的电场强度三分量的数值。

根据牛顿- 莱布尼茨公式，位于两相邻中间层z=zk与z=zk+1上具有相同x坐标、y坐标的任意两点的电场强度三分量存在以下关系：

(1)

若Δz足够小，则得到两相邻中间层的递推关系式为

(2)

1.2 垂向偏导数的获得

根据舰船水下静态电场的产生机理可知，在测量平面与目标平面之间的换算区域内，该场具有无源、无旋的特性，也就是有

(3)

将(3)式进行3个方向上的分解，即

(4)

式中：i、j、k分别为x轴方向、y轴方向、z轴方向的单位矢量。

即有

(5)

结合(2)式、(5)式，递推关系式可改写为

(6)

实际应用中，若获得一个水平面上网格节点处的场分布，则易于求出各节点处场分量的水平偏导数，本文采用1阶导数计算方法。

1.3 水平方向偏导数的计算

若函数f(x)定义在[a,b]上，x0、x1、x2、x3、x4为间距均为h的等距节点，且a≤x0≤x1≤x2≤x3≤x4≤b.f(xk)为节点处的函数值，其中k=0,1,2,3,4. 则节点处f(x)的1阶导数[12]为

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

式中：ξi∈(a,b)，i=0,1,2,3,4.

2 微分递推换算法的算法设计

由上文所述思路，递推算法在舰船静态电场的深度换算中应用时包括以下步骤：

1)由网格状测量平面上节点处的电场强度三分量测量值，利用(7)式～(11)式求出其1阶水平偏导数。

2)根据(5)式，由水平偏导数求出各节点处电场强度三分量的垂向偏导数。

3)由(2)式求出下一相邻平面上或上一相邻平面上电场强度三分量的值。

4)重复步骤1～步骤3，最终得到目标平面上场。

具体算法设计框图如图3所示。图3中：下标x、y、z代表电场强度在某方向的分量；下标i、j表示节点的位置编号，即x轴方向第i个、y轴方向第j个网格节点；下标k为递推步数，也表示第k层递推平面，k=0为测量平面。

3 微分递推换算法的可行性验证

3.1 两类换算问题的仿真换算结果

设海水电导率为4 S/m，海床电导率为0.4 S/m. 空气- 海水界面取为z=0的平面，竖直向下为z轴正方向，以水平电偶极子电偶极矩方向为x轴正方向。将微分递推换算法应用于由远及近和由近及远两类深度换算问题，换算涉及到的相关参数设置如表1所示。

表1 仿真参数

换算结果如图4、图5所示。

为了更全面准确地表征换算结果的精度，本文采用目标平面的换算值与该平面的理论计算值之间的相对均方根误差RRMSE、最大值相对误差ep、最小值相对误差eb来描述换算误差。以Ex为例，如(12)式～(14)式所示。

(12)

(13)

(14)

式中：下标c、t分别表示换算值与理论计算值。另外本文所取RRMSE为换算值的均方根误差RMSE与计算值的均方根平均值RMSA的比值。图4、图5对应的换算误差分别如表2、表3所示。

显然，从表2、表3可以看出，无论是由近及远还是由远及近换算，其电场强度三分量换算误差的最大值均不超过0.035，换算精度较高。

表2 由近及远换算误差

表3 由远及近换算误差

保持其他参数条件不变，只改变目标平面深度，使换算深度H分别为1 m、2 m、3 m、4 m、5 m、6 m、7 m、8 m、9 m、10 m、11 m，分别计算由近及远和由远及近两类换算问题的相对均方根误差，如图6、图7所示。

由图6、图7可知，随着换算深度的增大，换算精度不断下降。其中：由图6可知，在本文所选换算参数条件下，当H>7 m时，由近及远的换算误差迅速增大，最终H=11 m时电场强度三分量的换算误差均超过了50%；相比之下，由远及近的换算中，换算误差随换算深度的变化比较平缓，如图7所示，且可以计算，当换算深度H=20 m时，换算误差才达到50%.

上述仿真结果表明，微分递推换算法对于由远及近和由近及远两类换算问题均适用，并且相较于由近及远的换算问题来说，在解决由远及近换算问题时，该方法能保持较好的换算精度。出现这个现象的原因在于5点微分公式应用于求电场强度三分量的水平偏导数时，其误差随深度不断减小。采用对水下电场场强表达式直接求导和先求场再利用5点微分公式求导这两种方法，编程数值计算某深度平面上电场强度三分量水平偏导数的值。将它们进行比较可以发现，对于远源平面，5点微分公式求导所带来的误差较近源平面要小。这就导致由远及近换算的起始过程误差较小，反复迭代过程中误差逐步增大；而由近及远换算的起始过程误差就较大，反复迭代使得误差增大更快，最终导致两平面之间的深度换算中，由远及近的换算误差更小。

实际工程应用中，广泛采用的海床基测量点阵往往能够提供海床- 海水界面上的场分布，此时一般需要进行由远及近的换算，显然前述研究结果表明，微分递推换算法应为利用海水- 海床界面上的场分布进行由远及近换算的适用方法之一。

3.2 实测场分布的换算结果

在实验室中模拟空气- 海水- 海床3层海洋环境，模拟海水水深0.53 m，电导率为0.204 7 S/m. 采用通有稳恒电流的两平行铂片模拟静态电偶极子，两铂片间距0.03 m，外加电流0.2 A，置于水面下0.03 m深度处，坐标系建立同3.1节。 选取电偶极子下方、以电偶极子投影点为中心、大小为0.25 m×0.25 m、深度分别为0.20 m和0.26 m的两个平面进行电场强度的测量。结果如图8、图9所示。

以水深0.26 m处平面为测量平面，以水深0.20 m处平面为目标平面，采用前文所述的微分递推换算法进行深度换算，电场强度三分量换算结果如图10所示。

对比图10与图9可以看出，换算所得目标平面上的电场强度三分量的场分布特征与实测结果吻合较好。为了更精细地表达换算精度，表4也给出了换算值与实测值之间的RRMSE、ep和eb. 考虑到实际测量误差条件和电场强度测试系统本身的测试精度的影响，表4所示的误差表明微分递推换算法应用于舰船静态电场深度换算是可行的。

4 微分递推换算法换算精度的仿真分析

在3.1节中设置的仿真参数基础上，保持测量平面大小，通过改变其他相关参数，采用仿真分析的方法分别研究递推步长、测量平面网格节点间隔以及海水深度对换算精度的影响。

4.1 递推步长对换算精度的影响

选取深度为20 m和26 m的两个平面分别进行由近及远和由远及近换算。选取测量平面网格节点间隔δ=0.1 m，海水深度D=100 m. 分别计算递推步长的绝对值为0.10 m、0.15 m、0.20 m、0.25 m、0.30 m、0.40 m、0.50 m、0.60 m、1.00 m、2.00 m时电场强度三分量的RRMSE，如图11、图12所示。

由图11、图12可知：在由近及远换算中，随着递推步长的增大，电场强度三分量换算的RRMSE均呈现出先减小、后增大的趋势；而在由远及近换算中，电场强度三分量换算的RRMSE则呈现单调增大的趋势。

误差类型RRMSEepebEx换算误差0.30470.04580.1043Ey换算误差0.16540.02870.0239Ez换算误差0.52440.53030.4956

从微分递推换算法原理上来看，递推步长主要通过两种效果相反的效应来影响换算精度。一方面是近似效应，即在(1)式近似为(2)式的过程中，若Δz并非足够小，则会引入换算误差，且Δz越小，因近似引入的误差就越小；另一方面是递推过程中的误差累积效应，Δz越小，换算次数越多，误差因累积也就越大。对比图11、图12可知：对于由远及近换算而言，在图示的递推步长范围内，近似效应始终占据主导；而对于由近及远换算而言，误差累积和近似效应先后占据主导地位，使得误差出现先减小、后增大的趋势。因此，在选择合适的递推步长时，对于由远及近换算问题，应当在不影响运算效率的前提下，尽可能选择小的递推步长；而对于由近及远换算问题，则应当选择靠近极值点处的递推步长。

4.2 测量平面网格节点间隔对换算精度的影响

选取深度为20 m和30 m的两个平面分别进行由近及远和由远及近换算。选取递推步长Δz=0.1 m，海水深度D=100 m. 应用微分递推换算法，分别计算测量平面网格节点间隔δ为0.1 m、0.2 m、0.3 m、0.4 m、0.5 m、0.6 m时的电场强度三分量的RRMSE，如图13、图14所示。

由图13、图14可知，尽管随着网格节点间隔的增大，电场强度三分量的换算误差呈现增大趋势，但增大不明显。由远及近换算中，网格节点间隔从0.1 m变化到0.6 m，换算的RRMSE变化不超过0.005；而在由近及远换算中，RRMSE变化不超过0.05.

从微分递推换算原理来看，网格节点间隔影响1阶偏导数计算公式中的差值余项，但显然影响并不大。但在编程应用微分递推换算法进行换算过程中，网格节点间隔对于运算量及运算效率的影响非常大，因此在实际应用中，为了保证运算速度，网格节点间隔可以设置的稍大一点。这一点对实际的测量工作也非常有益，网格节点间隔大，减少了传感器的需求数量，也降低了布设难度。

4.3 海洋水深对换算精度的影响

选取深度为20 m和25 m的两个平面分别进行由近及远和由远及近换算。选取测量平面网格节点间隔δ=0.1 m，递推步长Δz=0.1 m，应用微分逆推换算法，分别计算海水深度D为30 m、40 m、50 m、60 m、70 m、80 m、90 m、100 m时电场强度三分量的RRMSE，如图15、图16所示。

由图15、图16可知，在本文设定的参数条件下，海水深度小于50 m时，海床的存在会影响换算精度；而海水深度大于50 m后，电场强度三分量换算误差逐渐稳定在一个较低的水平上，也就是说海床的影响可以不考虑。

海水深度对微分递推换算法换算精度的影响主要表现在海水深度越大，换算区域边界距离海床越远，海床对换算的影响也就越小，因此，在实际应用中，微分递推换算法在解决贴近海床区域的深度换算问题时应当慎重。前文已经提到在实际应用过程中，经常遇到以海水- 海床界面为测量平面进行由远及近换算的问题。下面考察利用海床基测量值进行由远及近换算时，换算误差随换算深度的变化。保持其他参数条件不变，设海洋水深D=40 m，测量平面为海水- 海床界面即zm=40 m，分别计算换算深度H为5.0 m、7.5 m、10.0 m、12.5 m、15.0 m、17.5 m、20.5 m时，由远及近换算的RRMSE，如表5所示。

表5 以海水- 海床界面为测量平面时换算误差随换算深度的变化

由表5可知，以海水- 海床界面为测量平面进行由远及近换算时，随着换算深度的增大，换算误差不断增大，但在本文所设参数条件下，换算深度在5.0～15.0 m范围内时，电场强度三分量的换算RRMSE均不超过25%，换算精度较高。这表明在实际应用过程中，以海水- 海床界面为测量平面布设测量基阵时，在一定的换算深度范围内，利用微分递推换算法进行由远及近换算，可得到较为可靠的目标平面电场分布。

5 结论

本文对测量平面与目标平面之间所构成的换算区域进行离散化处理，利用牛顿- 莱布尼茨公式建立起两中间平面之间的递推关系，依据换算区域内场的无源、无旋特性将电场强度三分量垂向偏导数的求解问题转化成了水平偏导数的计算问题，给出了微分递推换算法用于舰船静态电场深度换算的方法并设计了算法。本文还通过仿真模拟与实验验证，说明了在一定换算深度范围内应用微分递推换算法进行换算的可行性。随后采用仿真分析方法，分别考察了递推步长、测量平面网格节点间隔和海洋水深对微分递推法换算精度的影响，得到以下结论：

1)递推步长的增大会带来两种效果相反的效应，一方面会导致离散化处理的近似效果下降，增大误差；另一方面由于递推次数的减少会导致误差累积效应的下降，误差也减少。对由近及远换算，存在一个最佳的递推步长，而对由远及近换算，则应当在不影响运算效率的前提下，尽可能选择小的递推步长。

2)网格节点间隔变化引起的误差变化很小，这是由于本文所采取的1阶导数计算方法对节点间隔不敏感。因此实际应用中，为提高换算速度、减少测量基阵布设难度，可以选择较大的网格节点间隔。

3)海水深度对于递推算法的影响主要取决于换算区域与海床的距离。如果换算区域离海床较远，则受海床的影响较小，换算误差也可以稳定在一个较小的水平。

4)在同等参数条件下，采用微分递推法进行由远及近换算的精度要优于由近及远换算的精度。而实际军事应用中，以海水- 海床界面为测量平面进行由远及近换算需求较多。仿真结果表明，尽管随着换算深度的增大，其换算精度有所下降，但在一定范围内，其换算精度还能保持在一个较高的水平上。另外从本文研究也可看出，微分递推法应用于舰船水下静态电场深度换算时，算法过程简洁、测量基阵布设难度不大，因此该方法具有明显的军事应用前景。

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[1] Portnoy I, Melendez K, Pinzon H, et al. An improved weighted recursive PCA algorithm for adaptive fault detection[J]. Control Engineering Practice, 2016, 50:69-83.

[2] Dun X D, Jin W Q, Lu L. Noise-robust boundary recursive algorithm for super-resolution reconstruction of staring focal plane array micro-scanning imaging[J]. Infrared Physics & Technology, 2015, 68(11):159-166.

[4] Fernandes J F P, Camilo F M, Machado V M. Fluxball magnetic field analysis using a hybrid analytical/FEM/BEM with equivalent currents[J]. Journal of Magnetism & Magnetic Materials, 2016, 401:1173-1180.

[5] 王瑾. 舰船水下电场测量[J]. 中国舰船研究, 2007, 2(5):45-49.

WANG Jin. Measurement of underwater electric field for ships[J]. Chinese Journal of Ship Research, 2007, 2(5): 45-49.(in Chinese)

[6] Certenais J, Periou J J. Electromagnetic measurements at sea[C]∥Conference Proceedings of UDT.Germany：UDT，1997: 433-434.

[7] 陈聪, 李定国, 龚沈光. 船舶静态电场深度换算方法[J]. 哈尔滨工程大学学报, 2009, 30(6): 719-722.

CHEN Cong, LI Ding-guo, GONG Shen-guang. The method of the extrapolation of the static electric field of ships[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2009, 30(6): 719-722.(in Chinese)

[8] 陈聪, 李定国，龚沈光. 基于拉氏方程的舰船静态电场深度换算[J]. 电子学报, 2010, 38(9):2025-2029．

CHEN Cong, LI Ding-guo, GONG Shen-guang. Research on the extrapolation of the static electric field of ships based on Laplace equation[J]. Acta Electronica Sinica, 2010, 38(9): 2025-2029.(in Chinese)

[9] 徐世浙. 位场延拓的积分- 迭代法[J]. 地球物理学报, 2009, 49(4): 1176-1182.

XU Shi-zhe. The integral-iteration method for continuation of potential fields[J]. Chinese Journal of Geophysics, 2006, 49(4): 1176-1182.(in Chinese)

[10] 闫辉, 肖昌汉, 殷克全, 等.递推算法在船舶磁场远场向近场换算中的应用[J]. 兵工学报, 2010, 31(9):1200-1203.

YAN Hui, XIAO Chang-han, YIN Ke-quan,et al. The application of recursive algorithm on ship’s magnetic field extrapolation[J].Acta Armamentarii, 2010, 31(9): 1200-1203.(in Chinese)

[11] 胡英娣, 龚沈光, 闫永贵. 一种新的船舶静态电场深度换算方法[J]. 海军工程大学学报, 2013, 25(5):16-20．

HU Ying-di, GONG Shen-guang, YAN Yong-gui. A new method for depth extropolation of ship’s electric field[J]. Journal of Naval University of Engineering, 2013, 25(5): 16-20.(in Chinese)

[12] 王燕. 一阶导数的五点数值微分公式及外推算法[J]. 数学的实践与认识, 2011, 41(6): 163-167．

WANG Yan. The extrapolation method of five-point numerical formulas for one-order derivative[J]. Mathematics in Practice and Theory, 2011, 41(6): 163-167.(in Chinese)

[13] 刘胜道. 舰船水下电场的测试技术与电偶极子模型研究[D]. 武汉: 海军工程大学, 2002: 48- 65.

LIU Sheng-dao. The technology for measuring the underwater electric field and the electric dipole modeling research of ships[D]. Wuhan: Navy University of Engineering, 2002:48-65. (in Chinese)

[14] 陈聪, 龚沈光, 李定国. 基于混合模型的舰船腐蚀相关静态电、磁场[J]. 哈尔滨工业大学学报, 2010, 42(3):495-499.

CHEN Cong, GONG Shen-guang, LI Ding-guo. Corrosion related static electric and magnetic field of ships based on mixed modeling[J]. Journal of Harbin Institute of Technology, 2010, 42(3): 495-499.(in Chinese)

[15] 陈聪, 李定国, 龚沈光. 浅海中静态电偶极子电场分布的镜像法研究[J]. 武汉理工大学学报：交通科学与工程版, 2010, 34(4):716-720.

CHEN Cong, LI Ding-guo, GONG Shen-guang. Research on the electric field produced by static electric dipole located in shallow sea with mirror image theory[J]. Journal of Wuhan University of Technology: Transportation Science & Engineering, 2010, 34(4):716-720.(in Chinese)

[16] Hoitham P，Jeffery I，Brooking B，et al．Electromagnetic signature modeling and reduction[C]∥Conference Proceedings of UDT. London, UK: UDT，1999：97-100．