李杰, 郑涛, 冯凯强, 杜思远, 张樨, 杨雁宇

(中北大学 仪器科学与动态测试教育部重点实验室， 山西 太原 030051)

0 引言

半捷联惯性测量系统是专门为高旋转、高过载的弹载环境量身定制的一种测量系统，其核心部件为半捷联稳定平台。半捷联稳定平台是一种采用机械装置实现与弹体滚转隔离的惯性平台，半捷联稳定平台可以使微惯性测量单元(MIMU)在滚转方向保持稳定，而在俯仰和偏航方向保持捷联[1]。在飞行过程中，弹丸的锥形运动是一种固有运动，所以研究锥形运动对半捷联稳定平台稳定性的影响是有必要的。

半捷联稳定平台利用轴承实现了MIMU与弹体在滚转轴方向上的隔离，该平台以重力和轴承摩擦力的合力作用下的复摆运动原理进行工作[2]，其中轴承摩擦力矩是决定平台稳定性的关键因素。前期对弹丸不存在锥形运动，即对弹丸只做滚转运动情况下的半捷联稳定平台的运动进行分析，得到理想情况下作用在半捷联稳定平台上的动力学模型[1]。本文在前期分析的基础上考虑了弹丸锥形运动对半捷联稳定平台运动规律的影响。抓住弹丸在做锥形运动时，作用在半捷联稳定平台上的传递动力学模型，从传递模型出发考虑锥形运动对轴承摩擦力矩的影响，最终得到弹丸锥形运动情况下的半捷联稳定平台摆动角速率的变化规律。

1 半捷联稳定平台的工作原理

本文针对高旋转的弹载环境下捷联惯性测量系统测量精度降低这一问题，设计了半捷联惯性测量系统。该系统内部装有半捷联稳定平台，此平台在横滚轴方向上通过轴承实现与弹丸的连接，起到“隔旋止转”的效果。半捷联稳定平台作为一种用于搭载传感器的机械结构，主要用于实现等效减小弹丸滚转角速率，从而降低对传感器量程要求，以达到提高测量精度的目的。

1.1 半捷联稳定平台的组成

半捷联稳定平台由轴承和内筒两大部分组成，如图1所示。轴承实现了内筒与弹丸在滚转轴方向上的连接。内筒内部由实现姿态测量的MIMU、数据采集系统和增加重力回复力矩的配重3部分组成。

1.2 半捷联稳定平台动力学模型

理想情况下，质量为m的半捷联稳定平台重心由于轴承摩擦力矩Mf的带动作用，在垂直于滚转轴的横截面内围绕支撑轴点做复摆运动，其动力学模型简图如图2所示。图2中m为轴承和半捷联稳定平台的总质量，θ(t)为重心与竖直方向的夹角，L为稳定平台等效重心位置到支撑轴点的距离即摆臂[3-5]。

从图2可知，稳定平台重心围绕支撑轴点的摆动是由轴承摩擦力矩与重力回复力矩共同作用的结果，两个力矩的具体作用方式为

(1)

式中：J为稳定平台的转动惯量。

2 弹丸锥形运动下的轴承摩擦力矩变化规律

锥形运动是弹丸运动不稳定的一种表现形式，锥形运动发生时，弹丸除绕自身纵轴的自旋运动外，还表现出弹体纵轴绕速度方向的旋转运动[6-7]，如图3所示。图3中，α为半捷联系统轴与水平面间夹角即俯仰角，γ为半捷联系统轴与弹丸速度轴间夹角即半锥角,β=ωt为L与水平方向的夹角，ω为车床转动角速率，Xv为弹丸速度轴(认为是水平方向)，Xt为弹丸自身轴，R为半捷联系统轴Xt与水平轴Xv交点到MIMU的距离，H为横断面到水平面的距离。

图3描述了由于弹丸锥形运动引起的过MIMU且与半捷联系统轴垂直的横截面围绕速度轴Xv的“抬头低头”运动。当弹丸自身轴Xt绕弹丸速度轴Xv转动时，过MIMU且垂直于弹丸自身轴Xt的横截面会围绕弹丸速度轴Xv转动，从弹丸的速度轴Xv反方向看过去，此截面在垂直于速度轴Xv的横断面内的夹角值会呈现正余弦变化规律，截面的面积在横断面内投影会发生周期性变化，把横断面的这种运动叫做“抬头低头”运动。

2.1 锥形运动下的俯仰角变化

当弹丸做锥形运动时，在考虑过MIMU的半捷联系统横截面面积的情况下，该横截面与水平面的夹角会随转速发生变化；从速度的反方向看过去，半捷联系统的横截面会做周期性的“抬头低头”运动。系统横截面与水平面的夹角体现为俯仰角，俯仰角的变化可由(2)式表示：

(2)

2.2 锥形运动下轴承所受支持变化

由于弹丸轴围绕速度轴做锥形运动，使得实现稳定平台与弹丸连接的轴承也会做锥形运动，因此轴承会产生离心力，与这一部分离心力相对应的向心力由轴承外套圈的支持力F1提供。轴承运动轨迹在过轴承且垂直于速度方向的面内投影为圆形，如图4所示。

轴承以角速率ω围绕速度轴Xv做匀速圆周运动，与竖直轴间夹角为ωt. 向心力沿轴承运动轨迹的径向且指向圆心，由轴承外套圈支持力F1提供，重力方向竖直向下，Fp为轴承所受总支持力。根据三角形余弦定理可知：

F1=mω2L.

(3)

2.3 锥形运动下的轴承摩擦力变化规律

由上述分析可知，弹丸锥形运动的情况下轴承支持力等于F1和重力两部分的矢量和，如果考虑到半捷联系统横截面围绕速度轴的“抬头低头”运动，那么轴承的径向压力Fr和轴向压力Fa可以由(4)式[8-9]表示：

(4)

将(2)式、(3)式、(4)式代入SKF轴承摩擦力矩算法内，可得到弹丸锥形运动下的轴承摩擦力矩随时间的变化规律。SKF轴承摩擦力矩算法[10-11]为

Mf=Grr(υn)0.6+μslGsl,

(5)

式中：Grr为滚动摩擦变量；Gsl为滑动摩擦变量，二者具体表达式与轴承类型有关；υ为润滑剂工作温度的运动黏度；μsl为滑动摩擦系数；n为轴承转速。

与SKF轴承摩擦力矩算法相对比而言，存在轴承摩擦力矩的一般算法。轴承摩擦力矩的一般算法是将轴承摩擦力矩分为不受负荷影响的力矩M0和受负荷影响的力矩M1，总的摩擦力矩为二者之和。但是如果不仅考虑负荷因素，还要考虑导致摩擦力矩产生的根本原因，那么可以给出更为精确的轴承摩擦力矩算法即SKF轴承摩擦力矩算法。该算法比轴承摩擦力矩一般算法更加细化且计算精准，尤其体现在滚动项摩擦系数Grr与滑动项摩擦系数Gsl上,详见文献[11]。以采用开式深沟球轴承6200为例，(5)式中变量可表示为

(6)

式中：R1、R2、S1、S2为轴承摩擦力矩几何常数；dm为轴承的平均直径；αF为接触角。详见轴承型录。

以深沟球轴承6200为例，将(2)式～(6)式代入(5)式，得到弹丸做锥形运动情况下的轴承摩擦力矩随时间变化规律，计算所需参数见表1，结果如图5所示。

表1 仿真所需参数

假设弹丸围绕速度轴滚转角速率为700 r/min时，综合考虑由于锥形运动引起的“抬头低头”运动以及轴承支持力变化对轴承摩擦力矩的影响，得到轴承摩擦力矩随时间的变化曲线如图5(a)所示；对轴承摩擦力矩进行频谱分析图如图5(b)所示，摩擦力矩中主频为11.76 Hz，接近弹丸绕速度轴的滚转角速率频率。

根据复摆运动原理可知，当轴承摩擦力矩为恒定值时，稳定平台重心在轴承摩擦力矩与重力回复力矩的力矩平衡位置附近做钟摆运动，此时稳定平台摆动角速率呈现正余弦变化规律，且摆动频率固定[12-13]。若轴承摩擦力矩呈现周期性变化时，使得轴承摩擦力矩与重力回复力矩的平衡位置发生周期变化，那么稳定平台摆动角速率会存在两个固定频率的波动。

3 试验验证

为了对上述理论分析结果进行验证，将半捷联惯性测量系统安装在高精度数控车床上，如图6所示。控制车床轴与系统轴间夹角即弹丸锥形运动时的半锥角恒定且以恒定角速率转动。通过对半捷联系统采集到的数据进行分析，可得到弹丸锥形运动情况下的半捷联稳定平台摆动角速率变化规律。将半捷联稳定平台摆动角速率理论仿真结果与实际运动规律对比，可实现对理论分析结果的验证。

3.1 半捷联系统理论输出

考虑弹丸锥形运动对轴承摩擦力矩的影响，借助4阶、5阶龙格- 库塔自适步长法，对(1)式进行仿真，将(1)式重写为1阶方程的形式：

(7)

图7(a)表示弹丸锥形运动情况下，半捷联系统滚转角速率理论输出。图7(b)中对滚转角速率理论输出进行频谱分析，可知存在与轴承摩擦力矩相近的频段，频率为11.780 Hz.

图8描述为取轴承摩擦力矩为恒定值0.315 N/m2时，结合(1)式用龙格- 库塔自适步长法仿真得到稳定平台摆动角速率的理论输出。

由图7与图8对比发现，当轴承摩擦力矩为恒定值时，稳定平台仅存在一个低频段的角速率。若轴承摩擦力矩发生变化，那么稳定平台的角速率也会叠加与轴承摩擦力矩同频变化的角速率。

3.2 半捷联系统输出数据

为了对锥形运动下半捷联滚转角速率理论值进行验证，将半捷联系统安装在高精度数控车床上，并将半捷联系统滚转轴与车床轴间夹角控制在1°左右，控制车床以700 r/min转速转动。对半捷联系统采集到的数据进行解算分析[15-16]，得到当车床转速为700 r/min时滚转角速率输出波形，如图9所示。

图7和图9分别表示当弹丸滚转角速率为700 r/min时，半捷联系统滚转角速率理论仿真数据和实际数据及其对应的频谱分析，经对比发现滚转角速率理论输出与实际输出都存在高低频段，低频段滚转角速率的频率在2 Hz左右，高频段滚转角速率的频率为11.790 Hz且与高精度车床转动频率相近。由于在地面半物理仿真试验时，高精度数控车床与半捷联系统间夹角不能严格地控制在1°，以及半捷联系统轴向安装误差角的存在，使得半捷联稳定平台实际角速率输出幅值与理论仿真值之间有所差异，理论输出和实际输出波形基本符合。图7和图9中低频段表示锥形运动的半锥角固定不变且产生的轴承摩擦力矩为恒定值时，稳定平台摆动的角速率；高频段表示因车床转动导致轴承摩擦力矩周期性变化，进而引发稳定平台摆动角速率的周期性变化，且变化频率与车床转动频率相同。得到滚转角速率的高频段输出是由于弹丸在锥形运动时，导致轴承摩擦力矩产生周期性变化引起半捷联稳定平台累加的角速率；在此高频段角速率的作用下，半捷联稳定平台摆动角速率增大。

4 结论

本文将半捷联系统安装在高精度数控车床上，控制半捷联系统滚转轴与车床轴间夹角，作为弹丸锥形运动时的半锥角，进行地面半物理仿真试验。验证了由于弹丸锥形运动导致轴承摩擦力矩周期性的变化，使得稳定平台滚转角速率叠加一个随弹丸滚转角速率同频变化的角速率，在此叠加角速率的作用下使得半捷联稳定平台整体摆动角速率增大。合理解释了弹丸锥形运动情况下半捷联稳定平台摆动角速率增大的原因；从弹丸在锥形运动时作用在半捷联稳定平台上的动力学模型入手，结合SKF轴承摩擦力矩算法得到在“抬头低头”运动及轴承径向支持力共同作用下的轴承摩擦力矩变化规律；得到半捷联稳定平台由于弹丸锥形运动下摆动角速率增大的原因，为半捷联惯性测量系统结构的设计优化提供了理论参考依据。

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