毋翠玲 和小军

[摘 要]估算教学一直是小学数学教学的难点，也是专家与一线教师时常探讨的热点话题。从估算的课程目标内涵、教材编排特点和学生认知特点出发，教师要正确处理估算与精算、数感及问题解决的关系，深刻理解教材的编写意图，密切联系学生的认知特点，切实把握好不同学段的教学要求。

[关键词]估算；课程目标；教材编写；认知特点；教学要求

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2018）05-0014-03

估算是一种基本的数学能力，是计算能力的重要组成部分，也是现实生活中经常使用的一种计算方法。在数学教育教学中。Reys等人认为估算过程需要综合运用心算、数概念及各种计算技巧，它要求使用心算快速地算出答案，并且算出的结果与正确结果之间要有合理性的接近。估算具有以下特点：以快速心算为主要的计算方式；以合理猜测为主要的推理方式；是心算、数概念及各种计算技巧的综合运用。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称课标）将估算作为培养学生数感、应用意识、运算能力、推理能力的重要途径和手段，各版本小学数学教材也都精心编排了估算的教学内容。在教学实践中，估算常常被一线教师定为教学难点，其主要原因是教师未能理解教材的编写意图，以及宏观把握教学方向。本文将从课标要求、教材编排、学生认知特点出发，阐述对估算教学的思考。

一、估算在课程标准中的要求

小学阶段的估算在课标中的课程目标描述分为两个学段。第一学段要求学生在生活情境中感受万以内数的意义，能结合具体情境选择适当的单位进行简单的估算，体会估算在生活中的作用，能估测一些物体的长度并进行测量，会估算给定简单图形的面积。第二学段要求结合现实情境感受大数的意义并能进行估计；在解决问题的过程中能选择合适的方法进行估算，会根据其中一个量的值估计另一个量的值，会用方格纸估计不规则图形的面积。

估算内容广泛分布在数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四个领域之中，主要集中在“数与代数”领域。课标对估算的要求有以下三点：一是要重视估算的实际背景，二是强调估算的单位选取，三是强调估算对于培养学生数感、积累数学活动经验的作用。估算与精算、数感及问题解决都有密切关系，培养小学生的估算能力是一项重要的教学任务。

二、估算内容在人教版教材中的编排

教材是教学的重要载体，理解教材是教学的基础。自估算内容在小学数学教材中出现以来，一直受到一线教师的广泛关注。下面笔者从教材的容量、内容分布、呈现方式、内容编排四个方面阐述估算内容在人教版教材中的编排方式。

从估算内容的容量看，估算内容集中出现在二年级下册、三年级上下册和四年级上册，其中四年级中的估算内容最多，是估算教学的重点。人教版教材涉及估算内容有92处，从二年级上册开始，估算内容逐渐增多，直至四年级上册。其中，一年级上下册，四年级下册，五年级上下册和六年级下册均未安排估算内容。（如下表）

从估算内容的分布看，估算内容在数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四个领域中均有分布。数与代数有88处，图形与几何有1处，统计与概率有1处，综合与实践有2处。不难发现，估算内容主要集中在数与代数领域，尤其集中在数与代数的计算教学中。估计的形式主要有三种：数量估计、测量估计、计算估计，简称估数、估测、估算。

从估算内容的呈现方式看，估算在教材中的呈现方式主要有4种：纯文字、纯算式、文字+算式（表格）、图文情境。“纯文字呈现”是指采用语言文字承载题目的含义，并要求学生进行估算的计算题目。“纯算式呈现”是指以算式形式呈现学生要完成的估算题目。“文字+算式（表格）呈现”是指使用算式或表格对文字部分进行辅助说明，并要求学生进行计算的估算题目。“图文情境呈现”是指采用情景图、对话框以及文字叙述的方式阐述题目的含义，并要求学生进行计算的估算题目。人教版教材中，纯算式呈现有32处，纯文字描述有4处，文字+算式（表格）有1处，图文情境有55处。其中图文情境以学生喜闻乐见、图文并茂的情境为主，符合学生的认知规律和心理特点。

从估算内容的编排看，人教版教材注重联系生活情境。每个单元的内容以“生活情境——例题——练习”为主线进行编排，每个知识点按照“例题——做一做——练习”的模式進行编排；例题后面编排有“想一想、做一做”等栏目，在每个章节后编排有整理与复习以及总复习等内容。估算内容的例题有15处，练习有53处，“试一试”“想一想”有16处，复习与整理有3处，总复习中有5处。估算内容与编排体例结合度较高，实现了多维度安排和渗透，重视培养学生的估算意识和估算能力。

三、学生学习估算的特点

小学生估算能力的发展状况是心理学中的一个热点问题，心理学家对此主要采用实验调查的研究模式。司继伟对1027名学生进行团体和个别测试，发现学生的估算能力受到年龄的影响，并且在不同年龄阶段有不同的影响。譬如，学生从一年级就开始接触整数的概念，而对小数概念的学习到四年级才开始，因此小数题的认知难度对学生而言显著高于整数题。学生能否解决复杂的估算问题取决于能否结合问题所提供的信息，选择恰当的估算策略。学生估算的效率在各阶段都有其发展的特点。譬如，小学三年级是整数、小数估算能力发展的关键时期，小学五年级是分数估算能力发展的良好时期。

陈英和采用实验法和访谈法，对小学一年级到三年级的学生解决加减法算术题的策略使用特点进行了研究，发现学生能够灵活运用多种策略解决加减法算术题；随着年级增高，策略选择呈简约化发展趋势。陈丽兰对9～12岁学生选择估算策略的特点进行了研究，发现：随着问题难度的增大，选择估算策略的最佳击中率降低；随着年龄的不断增长，选择估算策略的个数增多，并且选择估算策略的最佳击中率上升，其中四、五年级学生的最佳击中率上升尤为明显；估算策略的选择不存在性别差异。

综合相关研究，学生估算能力的发展是一个逐步完善的过程，它需要学生具有一定的算术技能，同时还需要学生具有一定水平的思维能力。在小学阶段，学生估算能力的发展显现出整体推进、交替向上的态势。

四、估算教学的思考

1.正确认识估算与精算、数感的关系

估算与精算既有区别又有联系。估算是一种无需获得准确结果的计算，是学生根据有关的条件和知识，通过观察、比较、判断、推理等方式，对题目中的数字或运算结果所做出的一种大致判断。其结果是在一定范围内对答案进行的估计。估算过程具有跳跃性、直觉性、内隐性等特点，反映了学生对数的内部运算的认知水平。精算强调准确性，计算时要遵循算理，熟练算法。然而，有些问题可能只需估算，无需精算。譬如，购物时，在选择一些物品后，先估计一下大约需要多少钱，看自己带的钱是否足够。又如，“学校组织学生去游乐场玩耍，共有987名学生参加，假设游乐场的门票是8元/张，那么带8000元钱是否足够”的问题。有些问题可能只需精算，无需估算，有些问题可能需要先估算后精算，或在精算的过程中用到估算。如乘法运算时先估计结果是几位数，就可以快速判断计算结果是否合理。

估算与数感之间有着密切的联系。一方面，经常进行估算训练可以促进学生数感的发展，而培养数感又有助于学生估算能力的提高。譬如，估算258÷5，250与260都是5的倍数，但相对于250，260与258更为相近，因此利用260÷5估算结果更为准确。这种通过对数进行感知再进行判断、估算的方法，实质上需要学生具有良好的数感。学生只有对数具有良好的感知能力，才能对数有良好的把握，从而进行合理估算。另一方面，估算能力不同的学生在做数感类的题目时，多数情况下都倾向于选择有效性中等水平的策略。譬如，小数估算中忽略小数部分、改变数位；分数估算中同分母化为易处理的小数、选择基点“1”等。

2.把握估算内容的教材编排特点

估算内容没有独立的章节呈现，而是分散呈现在不同年级。估算教学需要全面理解蕴含在教材中的估算内容，教师只有准确把握小学两个学段对估算的不同要求，才能有目的、有计划地将估算渗透于教学。

第一学段立足于数量的简单推理和笔算验算，在解实际应用题时，初步渗透估算的意识和“误差”的概念。譬如，对于“妈妈带400元去商店购物，电话245元，吹风机187元。400元买这两件商品够不够”的问题，若学生提出“245元估成200元，187元估成200元，所以245加187大约是400元，所以够买”，这样的错误应该是可以理解的。换句话说，教师要重视学生的估算过程，让学生通过交流讨论，学习如何根据实际情况调整估算策略。

第二学段的重点是学习基本的估算方法，掌握估算策略。第二学段中的大数认识更抽象，数的运算更复杂，基于学生想简算的心理，可以促进其主动利用估算解决问题。譬如，“三位数乘两位数的估算”的题目：秋天来了，五年级的小朋友打算进行一次秋游，每个小朋友的车票和门票是49元，五年级共有104个小朋友，估算一下，大约准备多少元才够买票？学生可能会有两种估算方法，估算成50×100=5000（元），或者估算成50×110=5500（元）。教师要引导学生思考哪一种估算方法好一些，也就是说要选取怎样的估算策略，这是解决问题的关键。因为只有这样才能让学生结合实际来理解在什么情况下估大，什么情况下估小，才符合要求，做到具体问题具体分析。毕竟，估算是解决问题的常用方法，但是没有固定的法则，要根据具体的情况采取適当的策略。

把握两个学段对估算的不同要求，理解教材的编写意图，才能全面系统地进行估算教学。譬如，对于低年级学生，即使估算结果与准确值偏离较大，但只要学生能清晰、完整地说出估算过程，对估算结果能做出合理的解释，教师都应给予鼓励。高年级学生已经积累了一些估算经验，形成了较高的估算技能，教师就要指导他们不断进行自我反思、分析和调整，使估算结果尽可能接近准确结果。

3.把握小学生估算能力发展的特点

小学生估算能力的发展是一个逐步精确化、合理化、策略化、程序化的过程，教师要根据不同阶段学生估算能力的特点，科学制定相应的潜力开发方案。

作为数学教师，要明确估算的意义，提高学生学习估算的自觉性和积极性；要让学生关注现实生活和生产实践中的估算问题并尝试解决，使学生意识到在他们周围存在着大量的估算问题，体会到估算的必要性和优越性。比如“全家聚餐”大约需要200元，这就是估算，但饭店的收银员在收取费用时则需要进行精确计算。

估算是一种开放型的创造性活动，因内容和问题情境的不同，估算的方法和策略也不尽相同。学生学习估算的难点在于不知道如何根据实际问题去选择估算策略：是要估算得大些， 还是要估算得小些？什么时候需要对估算结果进行调整？虽然估算在简化运算、选择方法和调整结果各环节中都有对应的策略， 但都需要学生针对实际问题灵活选择。譬如，估算有上限额度时，必须估大些；估算有最低额度时，则要估小些……估算是为了运算简便而取的一个近似数，不是为了估算而估算。因此教师要让学生不断进行练习，逐步积累估算经验，总结规律，从而提高学生的估算能力。

4.妥善处理估算学习中出现的常见问题

在学生学习估算的过程中，经常出现以下问题：估算意识淡薄——用精算代替估算；省略估算步骤——缺少估算结果的调整；估算标准不确定——不知道估得对不对。针对这些常见的问题，教师要正确对待、妥善处理。

关于学生用精算代替估算的问题，其实质是学生估算意识薄弱。作为教师，要选择有代表性的估算题目，以便引导学生体会估算的意义和价值，逐渐形成估算意识。譬如，金金用5元购买牛奶、面包和鸡蛋。其中牛奶1.5元，面包1.29元，鸡蛋1.44元，在下面哪种情况下使用估算比精算有意义？①当金金检查5元是否够用时；②当收银员将每种商品的价格录入收银系统时；③当收银员告诉金金应该付多少钱时；④当收银员核对金金所付的钱时。这种以生活实例呈现问题的方式，需要学生正确理解估算与精算，才能做出正确选择。显然，将精算和估算相结合的题目编排方式，能很好地锻炼学生的估算意识。

对估算结果的调整，实际上是学生根据实际问题选择恰当的估算策略，不断进行推理验证的过程。譬如，周庄村组织272名村民去旅游，每辆客车可以坐48人。估算一下，周庄村租5辆这样的客车够吗？至少要租多少辆这样的客车？这个问题看似很简单，但对三年级的学生来说并非如此，因为解决问题时，学生需要经过严谨的推理过程才能做出判断。对于这个问题，应先将48看作50，50×5=250，再比较实际座位数应该比估算出的250个座位少一些，然后比较估算出的250个座位又比272名村民要少一些，由此判断5辆车不够坐。在这个估算过程中，需要学生合理运用估算的基本方法，并能将估算结果与实际问题进行比较。这个估算过程需要学生具有较强的推理能力，并且能够灵活运用合理的估算策略进行估算。

需要注意的是，对于纯算式的估算，不能简单地把估算结果是否与准确值最接近作为唯一的标准，只要落在区间内，就是合理的。譬如，估算78×365的结果大约是多少时，学生刚接触估算时可能估为70×300，80×300或80×400，这些都可以视为是合理的。待学生有了一定的估算经验后，教师就要引导学生反思“怎样估才能更接近准确值”，这样才能完善学生的估算意识。

[ 参 考 文 献 ]

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（责编 金 铃）