漂流

本期答案 这是真的！

背景 麦比乌斯圈只有一面

青年问禅师：“大师，我很爱我的死党，他有很多优点，但是总有几个缺点让我非常讨厌，有什么方法能让他改变？”禅师浅笑，答：“方法很簡单，不过若想我教你，你需先下山为我找一张只有正面没有背面的纸回来.”

青年略一沉吟，掏出一个麦比乌斯圈.

阐述 许多人看到过麦比乌斯圈，但不一定知道它叫麦比乌斯圈.

许多人知道麦比乌斯圈，但不一定知道它的来龙去脉，

图l

麦比乌斯圈是德国数学家麦比乌斯，在1 858年研究著名的数学猜想：四色定理时发现的一个副产品，在麦比乌斯之前，已经有数学家提出：是否可以用一张长方形的纸条，首尾相粘，做成一个圈，然后在纸圈上涂色，只用一种颜色，就可以把整个纸圈涂满，不留下空白，有一天他在野外散步，田间肥大的玉米叶在他眼中变成了绿色的纸条，在不经意间他把玉米叶拧了一个圈后把两个头对接了起来，放到了地上，如图1.这让麦比乌斯非常惊讶，本来有两个面的纸条怎么变成一个面了？

普通纸带有两个面，一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；而麦比乌斯圈只有一个面，忙碌的蚂蚁们可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘，不妨来看看20世纪的伟大艺术家埃舍尔以麦比乌斯圈为载体的作品《麦比乌斯圈Ⅱ》，如图2，可爱的蚂蚁正为我们阐释麦比乌斯圈，这个所谓的单侧曲面到底长什么模样呢！

大家看看，麦比乌斯圈是不是和我们熟悉的数学符号“∞”长得很像呀，因此也有人认为麦比乌斯是无穷大符号“∞”的创意来源，设想一下：如果一个人站在一个巨大的麦比乌斯圈的表面上沿着他看到的“路”一直走下去，结果会发生什么？他会一直走下去，永远不会停下来，如图3.不过，这个“∞”来源的想法不是真的，符号“∞”早在1656年就出现在英国数学家沃利斯的作品中了.

麦比乌斯圈有许多奇异的特性.

拿一张白色的长纸条，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻个身，粘成一个麦比乌斯圈.用剪刀沿纸带的中央把它剪开.纸带不仅没有一分为二，反而变成了一个两倍长的纸圈.小伙伴们可以动手试着做一做.

一些在平面上无法解决的问题，却不可思议地在麦比乌斯圈上获得了解决.如在现实空间无法实现的“手套易位”问题：人左右两手的手套虽然极为相像，却有着本质的不同.无论你怎么扭来转去，左手套永远是左手套，右手套也永远是右手套！不过，倘若你把它搬到麦比乌斯圈上来，那么问题解决起来就易如反掌了，由于麦比乌斯圈的单面性，不分左右，左右手就都可以戴上了.

数学中有一个分支叫拓扑学，主要研究几何图形的一些特征和规律，麦比乌斯圈就是拓扑学中最有趣的单侧面问题之一，

类似的问题 青年又问禅师：“我的头脑总是被繁杂的世俗所装满，却要如何是好？”

禅师说：“你画一个瓶子，它总有一个尽头，你不把它里面的东西倒出来，怎么装新的进去？”

青年若有所思，画了一个克莱因瓶，如

在1882年，著名数学家克莱因发现了神奇的著名“瓶子”，这是一个像球面那样封闭的（没有边）曲面，但是它只有一个面.在图片上我们看到，克莱因瓶的确像一个瓶子.

克莱因瓶的结构在三维空间可描述为：一个瓶子底部有一个洞，现在延长瓶子的颈部，并且扭曲进入瓶子内部，然后和底部的洞相连接.和我们平时用来喝水的杯子不一样，这个物体没有“边”，它的表面不会终结.克莱因瓶和球面不同，我们知道一个球有两个面——外表面和内表面，如果一只蚂蚁在一个球的外表面上爬行，那么如果它不在球面上咬一个洞，就无法爬到内表面上去.我们很容易想象，一只爬在“克莱因瓶外”的蚂蚁，可以轻松地通过瓶颈而爬到“瓶内”去——事实上克莱因瓶无内外之分！当然了，您也甭想着用这个瓶子来装水呀！

有趣的是，如果把克莱因瓶沿着它的对称线切下去，竟会得到两个麦比乌斯圈，如图5.

更多关于麦比乌斯圈和克莱因瓶的内容，同学们可以参考《数学文化素质教育资源库》丛书.