谭纪文,汪立新,周小刚,李卓

(火箭军工程大学 控制科学与工程系,陕西 西安 710025)

0 引言

惯性导航系统是一种具有极强稳定性的导航任务装置，它可以实现自主导航，不受外界电磁环境干扰以及气象条件制约，在长时间运行的飞行器中应用较多[1-2]。在静态环境测试中，惯性导航装置具有很高的导航精度，但是在振动环境下，如在导弹发射的瞬间，惯性器件会受到严重的振动干扰，输出大量的噪声信号，严重影响到导航精度[3-5]。因此，本文针对惯性导航系统的主要惯性器件半球谐振陀螺仪(hemispherical resonator gyro,HRG)振动信号的去噪进行了相关研究，以提高惯性导航系统在振动环境下的导航精度。

D.L.Donoho和I.M.Johnstone提出了多分辨分析的小波阈值去噪算法，根据噪声和信号的小波系数在不同的尺度上具有不同的表现性的特点，通过小波基函数将含噪信号进行分解，使信号和噪声尽可能地分离，然后根据设定的阈值，将噪声去除[6-7]。最后利用小波逆变换，得到去噪后的信号。阈值函数是信号重构的桥梁，阈值函数的选择直接影响到去噪的效果，本文针对阈值函数的构造进行了重点研究。

1 小波阈值去噪基本原理

小波阈值去噪的基本原理是：设置一个噪声和信号的小波系数阈值(临界值)λ，把分解在各尺度下的小波系数依次与λ进行比较；若小波系数大于λ，则认为这部分小波系数是由信号产生，予以保留；若小波系数小于λ，则认为这部分小波系数是由噪声产生，通过阈值函数予以去除；最后将处理后的小波系数重构得到去噪后的信号[8-9]。具体流程如图1所示。

图1 小波阈值去噪流程图
Fig.1 Flow chart of wavelet threshold de-noising

2 阈值函数研究

阈值函数是影响小波阈值去噪效果的一个重要因素。目前，较为经典阈值函数有2种：硬阈值函数和软阈值函数。硬阈值函数把绝对值小于阈值λ的小波系数全部置0，把大于阈值λ的小波系数全部保留，不予作任何处理。硬阈值函数如式(1)所示。

(1)

硬阈值函数认为小于阈值λ的小波系数全部由噪声产生，大于阈值λ的小波系数全部由有用信号产生，硬阈值函数对小波系数的处理方式，能够将噪声较好地去除，但是这样会使得小波系数产生间断，在去除噪声的同时又引进了新的波动，并没有完全达到信号去噪的效果。

软阈值函数同样是把小波系数同阈值λ作比较，将小于λ的小波系数置0，将大于λ的小波系数同λ作差，使其向0收缩。软阈值函数在一定程度上解决了硬阈值函数去噪后波动大的问题，经软阈值函数去噪后，重构信号的连续性得到改善，但是去噪后的小波系数同原信号小波系数有固定的偏差，并且将大于阈值的小波系数进行定值压缩同噪声随小波系数增大而减小的事实相矛盾[10-12]，造成重构信号失真。软阈值函数如式(2)所示。

(2)

硬阈值函数在去除噪声的同时，使得重构信号产生间断，引入了新的波动；软阈值函数虽然解决了硬阈值函数去噪后波动性大的问题，但使得重构信号产生失真。因此，硬阈值函数和软阈值函数在进行去噪时，都存在一定的缺陷。

针对硬阈值函数以及软阈值函数在去噪中的不足，Breiman提出了Garrote阈值[13-14]，如式(3)所示。

(3)

Garrote阈值具有较好的连续性，在|wf(j,k)|=λ处连续，克服了硬阈值函数的不足，并在一定程度上解决了软阈值函数存在固定偏差的问题。

针对硬阈值函数以及软阈值函数在去噪中的不足，本文也进行了改进，提出了一种软硬联合的阈值函数，如式(4)所示。

(4)

式中:wf(j,k)为j尺度下的小波系数;λ为阈值;β为可调参数。

Garrote阈值函数以及本文改进阈值函数都解决了硬阈值函数以及软阈值函数的不足，接下来将进行实验验证，并重点对比Garrote阈值函数以及本文阈值函数的去噪效果。

3 实验校验

本节将对以上提到的4种阈值函数进行去噪分析，对比验证本文改进阈值函数的去噪效果。在进行去噪之前，还必须确定噪声小波系数和信号小波系数的分界点——阈值，在阈值的选取上，这里采用最为经典的Donoho阈值，如式(5)所示。

(5)

式中：T为阈值即噪声小波系数和信号小波系数的分界值；N为噪声信号长度；σ为噪声标准差。

3.1 仿真校验

通过Matlab产生heavy sine信号，并加以均值为0，方差为4的高斯白噪声，如图2所示。

图2 heavy sine及其染噪信号Fig.2 Heavy sine and its noise signal

下面，对图2染噪信号进行小波去噪处理：

Step 1：采用‘db4’小波基函数将heavy sine染噪信号进行分解，根据频率成分分解为4层。

Step 2：对分解在高频的小波系数与Donoho阈值进行比较，分别使用软阈值函数、硬阈值函数、Garrote阈值函数以及本文改进的阈值函数对小波系数进行处理。

Step 3：将处理后的小波系数进行重构获得去噪后的信号。4种阈值函数去噪后的效果如图3～6所示。

图3 硬阈值函数去噪Fig.3 Hard threshold function de-noising

图4 软阈值函数去噪Fig.4 Soft threshold function de-noising

图5 Garrote阈值函数去噪Fig.5 Garrote threshold function de-noising

图6 本文改进阈值函数去噪Fig.6 Improved threshold function de-noising

从图3～6中可以发现，噪声信号经过硬阈值函数去噪处理后，信号抖动依然较大，在去除噪声的同时又引入了新的波动，并没有真正实现去除噪声的意义；噪声信号经过软阈值函数去噪处理后，信号虽然比较光滑，但是去噪后的信号总是和原信号存在固定偏差，失真比较严重；通过本文改进的阈值函数去噪处理后，信号不但抖动明显降低，而且和原信号更加地贴合，明显优于硬阈值函数和软阈值函数的去噪效果。

利用信噪比和均方差[15]，对去噪信号进行量化。信噪比与均方根分别定义如式(6)，(7)所示。

(6)

(7)

根据表1中数据，从信噪比角度分析，本文阈值函数去噪信号的信噪比同硬阈值函数去噪信号相比提高了35.59%，同软阈值函数去噪信号相比提高了44.97%，同Garrote阈值函数去噪信号相比提高了7.07%；从均方根角度分析，本文阈值函数去噪信号的均方根同硬阈值函数去噪信号相比下降了37.16%，同软阈值函数去噪信号相比下降了43.62%，同Garrote阈值函数去噪信号相比下降了12.30%。通过以上分析，充分证明了本文阈值函数在去噪中的有效性和优越性。

3.2 HRG实测数据校验

通过以上仿真数据分析可以看出，Garrote阈值函数和本文阈值函数在去噪效果上都明显优于硬阈值函数和软阈值函数，本文阈值函数相比Garrote阈值函数去噪效果也有了进一步改善。为了更加进一步比较Garrote阈值函数和本文阈值函数去噪效果，下面通过HRG实测振动数据作进一步分析。图7为HRG随机振动试验实测信号，信号共采集5 000 s，采样频率为100 Hz。使用Garrote阈值函数对图7信号进行去噪，共耗时9.88 s，即每处理一个数据需消耗0.19 ms；采用本文改进的阈值函数对图7信号进行去噪，共耗时10.52 s，即每处理一个数据需消耗0.21 ms，本文改进的阈值函数在处理速度上虽略低于Garrote阈值函数，但是完全可以满足实时滤波过程中实时性要求。2种阈值函数的去噪效果分别如图8和图9所示。

表1 4种阈值函数去噪后信噪比与均方差对比

Table 1 Comparison of signal noise ratio and root mean square

去噪方式SNR/dBRMS硬阈值函数去噪21.0651.055软阈值函数去噪19.7011.176Garrote函数去噪26.6750.756改进阈值函数去噪28.5610.663

图7 HRG振动输出信号Fig.7 HRG vibration output signal

从图8和图9中可以看出，在相同的Donoho阈值条件下，本文阈值函数去噪效果更加优于Garrote阈值去噪效果。

对于HRG输出信号，因无法将噪声和有用信号准确分离，难以准确求取去噪后信号的信噪比与均方根，故通常通过对比去噪前后信号的随机误差项系数，来表征去噪效果。信号随机误差项主要有：量化噪声(Q)、角度随机游走(A)、零偏稳定性(B)、角速率随机游走(K)、速率斜坡(R)。各随机误差项分布在不同的频率，通常认为它们是互相独立的，可以通过Allan方差以不同的相关时间对这5项系数进行辨识。Allan方差可以表示为各类误差的方差和，如式(8)所示[16-17]。

图8 Garrote阈值函数去噪Fig.8 Garrote threshold function de-noising

图9 本文改进阈值函数去噪Fig.9 Improved threshold function de-noising

(8)

对去噪后的信号，进行Allan方差计算，通过最小二乘法以式(8)模型，对Allan标准差进行拟合，得出各随机误差项系数,如表2所示。

从表2数据中可以看出，经过以上2种方法去噪后，HRG信号的随机误差系数都得到明显降低，而使用本文改进的阈值函数去噪后，随机误差项系数下降更为明显。因此，从实测数据中同样证明了本文阈值函数在去噪效果上更加优于Garrote阈值函数。

表2 去噪信号随机误差项系数对比

4 结束语

本文根据硬阈值函数和软阈值函数在小波阈值去噪中各自优点和不足，研究得到了一种软硬联合的阈值函数。经过仿真数据校验和HRG实测振动数据校验，都证明了本文改进阈值函数的有效性和优越性。

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