李宏铭

解题方法的主体无疑是通性通法，但是你遇到的问题可能并不都是“标准化的”.当通性通法受阻之时，你肯定渴望一种别开生面的方法出现，达到石破天惊的效果，而这样的方法往往真的存在，这就是本文要介绍的第二手段.

一、基本不等式求最值时的“非标准”问题

用基本不等式求二元变量的最大（小）值时，如果是标准的“一正二定三相等”问题，自然毫无困难.但是如果条件不具备，比如不是正数、没有定值或者等号不能成立等，怎么办呢？转化为正数、凑出定值是容易想到的.但是化为一元函数是更重要的第二思路.

二、基本量不能全部求出的问题

数学中有一个普遍的策略就是基本量，即把问题基本要素都确定下来，从而使所有的量都变得可解.比如等差（比）数列中的a₁和d（q）、橢圆中的a，b，c等都是基本量，常规思路就是列出方程组求出这些值.但有时这个目标不能或很难实现，便需要第二或第三手段了，比如找到基本量之间的关系式、设而不求、利用性质或线性规划等等.

说明 例2中的相互制约条件不足以将a₁，d求出，a₁，d不是两个独立的变量，于是看作线性规划问题或整体利用不等式性质.例3中的限制条件为非线性的，不能运用线性规划来处理，但是条件为关于a₁，q的不等关系，因此利用等比数列的性质处理.

三、目标函数不容易构造的问题

在动态的过程中求某个量的范围，一般是构造目标函数转化为值域问题.但是有时候目标函数难以构造或者虽能构造却难以求解，特别是有两个或两个以上自由量的问题，就更难以处理.这时可以借助于图形，或者把动点化归到定点上，减少变量的数目.

解析 本题P，A，B三个均为动点，若运用向量的坐标运算及模的计算公式，将模表示为函数，运算量较大，而且其中有3个自由变量，超出我们的应对能力.但考虑到C₁，C₂是定点，从几何意义出发则很容易“看出”结果来.

说明 本题也可以求出两直线交点，再将PA·PB表示为f（m）的表达式求解，但运算量太大.

数学解题离不开化归，能化归为标准问题固然好，不能的话也应该化归到自己所熟悉的问题上去.显然，你所“熟悉”的问题或方法越多，就处于越有利的地位，这就是我们讲究第二手段甚至第三手段的初衷.endprint