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学习基本不等式的几个注意点

2018-03-13张春琦

新高考·高二数学 2017年8期
关键词:正三角形三边正数

张春琦

不等式a+b/2≥

(a>0,b>0)在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式以及解决实际问题方面有广泛的应用,其重要性不言而喻。复习阶段,我们需要勤总结、细归纳,下面和大家谈谈需要注意的地方。

1.注意基本不等式适用的条件。

(l)当两个正数的积为定值时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定值时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”。

(2)要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足三个求最值的条件“一正,二定,三取等”。

误区分析 错解忽略了“一正”的判断,也就是说要确定考虑的对象(本题中为“x”和“2/x”两者)为正值;若为负,则添加负号来运算。

2.注意基本不等式几个常用变形。

即为两个正数a,b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系(平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均)。

3.注意有些不等式中参数的取值范围可以拓展到一切实数。

以上都可以将参数a,b推广到实数集,其证明可以用代数法,也可以用几何法,同学们白行证明。

本题还可以将a,c看作是方程X2+(b-9)X十24-b(9-b)=0的两个根,用判别式大于或等于零就能求出b的取值范围。

若将上题变式为:a+b+c=9,a2十b2+C2=57,求实数b的取值范围。

4.注意维数的拓展,将二元拓展到多元不等式。

由此得到以下两个二元他多元不等式链(其中各变量取正值):

这与立体几何中长方体的体对角线长、表面积、体积的最值有关。

5.注意不等式的加密拓展。

我们还可以对(*)中的a,b赋值,得到如下一些结论,命制新的考题。

6.感受基本不等式背后的意蕴。

实际上考生答题的情况并不好,为什么呢?因为教材上没有现成的结论,大量的练习也不能解决这类问题,若穷尽所有能够组成三角形的情况计算,费事费力,显然不是好的解法,也有违背命题组的初衷,那么这道题究竟考什么呢?

其实,基本不等式不仅仅是两个平均数的大小比较,应用也不仅仅只是“一正,二定,三取等”求最值,它的本质是两个正数的几何平均数与算术平均数的大小关系,二者相等只是那样一个时刻(当且仅当),从其证明过程不难看出另有意蕴,即当等号不成立时,二者相差多少。

基于此,再去考虑上题,答案就不难得到了:当三角形周长一定时,正三角形的面积最大(注:此結论有多种证法,但用海伦公式与三元基本不等式来证明比较简单),本题虽然不能组成正三角形,但是可以“尽量”地“接近”正三角形,从而使其面积达到最大,该三角形的周长为2十3十4十5十6=20,无论怎样摆布,都不会出现三边相等的情况,但是当三边接近时,面积也应该最大,三边和为20,平均为6.6,故可以选6,7(=2+5),7(=3十4)为三边计算,这种组合显然是三边最接近的情况,答案是6

。无独有偶,2010年高考江苏高考19题是一道数列背景下的求最大值问题,要解这道题,就要用到上述的结论和思想方法,这些知识、方法、思想是隐形的,需要感悟,这种感悟正是来自对教材的深人品读,对解题过程的深入反思,对思想的概括升华。endprint

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