张 春 杨宁选

(石河子大学理学院物理系 新疆 石河子 832000)

固体均匀弦振动实验是大学普通物理力学中的一个基础、传统教学实验，它验证了弦线上横波的传播规律，观察固定均匀弦振动传播时形成的驻波波形，测量均匀弦线上横波的传播速度及均匀弦线的线密度[1～11]．通常采用实验方法有两种：一是采用振动频率固定的电动音叉，通过改变弦线长度或张力，形成稳定驻波，研究横波的叠加现象，验证横波的波长与张力、线密度的关系；二是采用频率连续可调的振动体，改变弦长或张力，形成稳定驻波从而验证弦线上驻波的振动规律[5]．方法一实验操作简便，实验现象非常明显，但该方法在测量波长时，受实验条件的影响，测量弦长的数据不是很精确[5]，为此本文将探讨在数据处理中可以应用最小二乘法，研究弦线上横波的波长与张力的关系，并利用Origin软件进行线性拟合，对波速和频率及其误差进行计算，为实验操作者和实验教学者提供参考．

1 实验装置及理论分析

弦振动实验仪[1]如图1所示，将弦线一端固定于电振音叉的一个脚上，另一端绕过定滑轮后挂一砝码，弦线张力T的大小即是砝码的重力．闭合开关S后，调节音叉断续器的接触点螺丝S′，令音叉维持振幅恒定的简谐振动，可迫使弦线产生横波向外传播，并在端点D发生反射．由于前进波与反射波的振幅相同，频率相同，振动方向相同且传播方向相反，则当C与D两端间弦线的长度满足一定的条件时，前进波与反射波在弦线上可产生干涉．

图1 弦振动实验装置图

(1)

(2)

弦振动实验一端为振源，另一端固定，属于有界弦的强迫振动，初始时刻，式(1)满足的初始条件为

(3)

如果振源以正弦函数方式振动，式(1)满足的边界条件为

u|x=0=0u|x=l=sin(2πνt)

(4)

式中l为弦长，ν为振源的振动频率．因为弦的振动在时间上是简谐的，所以对方程(1)分离变量后，求出的通解为

u(x,t)=(AeiΛx+Be-iΛx)ei2πνt

(5)

式中A与B是两个积分常数，等号右侧第一项表示自波源向固定端传播的入射波，第二项则是由固定端反射回来向波源传播的反射波，Λ是分离时所引入的常数．

2 实验原理

驻波是波的干涉现象的特例，产生驻波的条件为：振幅相同且在同一直线上沿相反方向传播的两列相干波．设前进波沿x轴正方向传播，则反射波沿x轴负方向传播，取它们振动相位始终相同的点为坐标原点，且在x=0处振动质点向上达到最大位移时开始计时，则前进波的波动表达式为

反射波的表达式为

其中，A为简谐波的振幅，ω为圆频率，f为频率，λ为波长，x为弦线上质点的坐标位置．两列波叠加后形成驻波，其表达式为

(6)

式(6)表示驻波上各点都在做简谐振动，各点振动的频率相同，即是波的频率，但是各点的振幅随质点坐标位置的不同而不同，即各点的振幅为

(7)

其中，振幅为零的点称为波节，振幅最大的点称为波腹．驻波不是振动状态的传播，也没有能量的传播，而是介质中各质点都做稳定的简谐振动．

可得波节的位置为

同理，可得波腹的位置为

则相邻两波节(或波腹)的距离为

(8)

因此，在实验中，当C与D两端间弦线的长度等于半波长的整数倍时，可观察到驻波现象，此时只要测得相邻两波节或相邻两波腹的距离，就可以确定波长

(9)

其中，n称为半波数．由波动理论可证，沿着一条拉紧的弦线传播横波时，波的传播速度v满足

(10)

其中，T为弦线的张力，ρ为弦线的线密度 (即单位长度的质量)．

These last definitions allow an immediate calculation of the above parameters after finding the memristance curve(Fig. 1-Bottom), since R0, Ron and Roff are found from direct inspection. By substituting the definitions of NMR and NRS,Eq. (9) is transformed to:

若弦线的波动频率为f，弦线上传播的横波波长为λ，则根据v=fλ及式(10)得

(11)

对式(11)两边取对数，得

(12)

式(12)为弦振动的传播规律．

3 实验内容及数据记录

(1)首先用分析天平称出不同长度弦线的质量，然后用米尺测出其长度，记录在表1中．

表1 弦线的线密度

(2)取砝码质量依次为20 g,40 g,60 g,80 g,100 g,120 g,140 g,160 g,调节弦线的长度，使弦线上出现稳定的驻波，记录半波数的个数和用米尺测量出弦线的长度(测量5次)，记录在表2中，在本实验中取力学实验室位置重力加速度的理论值[2]为g理论=9.808 m/s2．

4 数据处理及结果分析

(1)对于弦线的线密度，多次测量求平均值

其中

分析天平 Δ仪=0.000 1×10-3kg

米尺 Δ仪=0.000 1 m

总不确定度为

因此

表2 悬挂不同质量砝码时弦线的长度和半波数

表3 lnλ～lnT的关系

(2)对于式(11)，两边取对数，有

设

y=lnλx=lnT

则y=ax+b；可以验证lnλ～lnT的线性关系．代入相应的测量数据后，用最小二乘法计算a,b的值及相关系数R和灵敏度的值k．由于

得

根据最小二乘法处理数据的方法，有

(13)

(14)

可以计算出a=0.497 6,b=-0.685 3；关联系数R=0.970 2，灵敏度的值k=0.497 6．从结果上看，关联系数接近于1，说明lnλ，lnT具有较好的线性关系．

用OriginPro7.5软件可以进行线性拟合，拟合的图像如图1所示．从图1可以看出实际曲线和拟合曲线一致性非常好，lnλ和lnT满足线性关系．

图1 lnλ～lnT拟合关系曲线图

图2 m～vρ,vf关系曲线图

表4 两种波速及误差的计算

5 小结

本文从波动方程入手，推导出弦振动时产生驻波的方程；得出弦振动形成驻波时，波长、弦中张力、频率和弦线密度之间的关系．对弦振动的实验数据采用最小二乘法处理，并用OriginPro7.5软件对lnλ～lnT进行了线性拟合，分析了相对误差．此外，本文用分析天平求弦线线密度时，计算了其不确定度，并采用两种方法计算了弦线上行波的波速，对比了两种波速的误差度．

1 张建军,殷保详.大学物理实验.北京：北京邮电大学出版社,2013

2 张松锋,张鸿辉,周小东.基于最小二乘法的弦振动的研究.智能计算机与应用,2015,5(6):49～51

3 王荣,牛英煜.利用弦振动方程研究驻波特性.物理实验,2012,32(7):36～39

4 浦天舒.弦振动实验中阻力系数的测定.物理与工程,2015,25(3):54～56

5 吕春,杨萍,张兵.从弦振动实验方法的多样性,探究物理实验教学方法.第六届全国高等学校物理实验教学研讨会论文集(上),148～151

6 王玉清.固定均匀弦振动仪装置的拓展应用.实验室研究与探索,2009,28(3):31～33

7 黄莘,王茂香.弦振动实验数据处理与分析.大学物理实验,2013,26(6):89～91

8 张宇亭,赵斌,王茂香.弦振动实验中驻波波长的测量方法.实验科学与技术,2016,14(1):42～45

9 张庆龙.弦振动特性研究.大学物理实验,2016, 29(4): 65～66

10 苗锟,黄育红,李康,等.弦振动形成驻波的规律和数据的MATLAB处理.大学物理实验,2010,23(4):75～79

11 姚久民,田广志,祝玉华.用频谱分析法研究弦振动实验.物理实验,2009,29(12):30～33