唐春婷

（上海市民办远东学校〈普通高中〉）

一、两个等差数列的公共项问题

解一：为了发现公共项的规律，不妨将两个数列分别列举出一些项：

5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，41…

3，7，11，15，19，23，27，31，35，39，43，47，51…

显然相同的项构成的数列是11，23，35，47…

由以上分析可知，相同项构成以c1=11为首项，以d=12为公差的等差数列，通项公式为cn=12n-1。

bp+1=4（p+1）-1=4p+3=3m+6=3（m+2）∉ ｛an｝；

bp+2=4（p+2）-1=4p+7=3m+10=3（m+3）+1∉ ｛an｝；

bp+3=4（p+3）-1=4p+11=3m+14=3（m+4）+2∈ ｛an｝；

所以，cn+1=bp+3，cn=bp。

cn+1-cn=bp+3-bp=12，易得公共项构成以c1=11为首项，以d=12为公差的等差数列，通项公式为cn=12n-1。

点评：由此可以看出新数列的公差应是原来两数列的公差的最小公倍数。对于解一，推理不够严谨，但是对于解选择填空题，也不失为一种快速的方法。解二的推理较为严谨，技巧性较强，下面我们用中国剩余定理探究一下问题的本源。

解三：显然数列 ｛an｝的每一项是被3除余2（也可以说被3除余-1）的自然数，数列 ｛bn｝的每一项是被4除余-1的自然数，这样两个数列的每一项余数相同，设构成的新数列为 ｛cn｝，根据同余，则 ｛cn｝满足易得cn=12k-1，又通过简单的计算得新数列的首项为11，因此令k=n，k∈z所以cn=12n-1。

对于三个或者三个以上等差数列，要求它们的公共项从小到大排成的新数列的通项公式，同样可以用到中国剩余定理，转化为有关同余的问题，关键先求出数列公差的最小公倍数。如假设p个等差数列 ｛ani｝，i=1，2，…，p 的通项公式分别为 an1=e1n+f1，an2=e2n+f2，…，anp=epn+fp，公差 e1，e2，…，ep全不为 0，则这 p 个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新的等差数列 ｛cn｝，新数列公差d即为的最小公倍数，而新数列的首项通过简单的计算得出。

二、等差数列与等比数列的公共项问题

例：等差数列an=4n-1，等比数列bn=3n，它们的公共项由小到大排成新的数列 ｛cn｝，求 ｛cn｝的通项公式。……