陈再发，宋马军

（1.浙江国际海运职业技术学院，浙江 舟山 316021；2.江西理工大学 机电工程学院，江西 赣州 341000）

1 引言

刹车制动系统是汽车构造中的重要组成部分，刹车片和制动盘在行驶过程中通过接触摩擦作用可使汽车减速及停止。然而，汽车振动噪声是衡量汽车舒适感的重要指标，复杂的路况需汽车的刹车制动系统具有良好的动态性能，防止摩擦热效应或剧烈振动等因素引起刹车制动器性能不足，甚至出现疲劳失效现象。

为了改善刹车制动系统的动态性能，延长其使用寿命，已有学者对刹车制动系统中的刹车片或制动盘等做了大量的研究。如文献[1]于2007年采用FKF纤维复合材料作为汽车刹车片并对其进行了模态性能测试；文献[2-3]在1998年对汽车盘式制动器中制动盘的热应力弹性及高温失效机理和寿命进行了计算仿真和研究；文献[4]于2003年通过对盘式制动器主要零部件和总成进行了有限元计算，分析它们在各工况下的应力分布状态。

研究对象为某汽车企业的盘式刹车制动系统，对盘式刹车片和盘式制动盘进行了动态性能研究。首先，依据动力学原理推导出盘式刹车片的固有频率计算解析式，运用OptiStruct对不同材料的盘式刹车片进行模态分析，通过模态仿真结果验证理论解析的正确性，为盘式刹车片选择最佳的材料提供理论依据。然后，利用HyperMorph对盘式制动盘进行变形预定义并将其作为形状优化的设计变量，并基于OptiStruct对其进行形状优化及优化目标函数相对设计变量的灵敏度分析。通过优化前后的模态结果可得：基于HyperMorph的形状优化设计能有效提高盘式制动盘的低阶动态特性，为盘式制动盘及整个刹车制动系统提升局部静、动态性能提供了切实可行的方法。

2 盘式刹车片理论分析

依据动力学原理的固有频率理论计算中，因盘式刹车片的厚度较小而用具有材料属性的中面代替。根据基尔霍夫的薄板振动原理[5]并结合调和算子可得：

式中：D0—薄板抗弯刚度，为 Eh3/12（1-μ2）；E—弹性模型；μ—泊松比；h—刹车片厚度；ω—刹车片固有频率；Δ4—重调和解析式，为（∂2/∂2x-∂2/∂2y）2。

然而，仅需对盘式刹车片进行实模态分析并获取实特征值乃至相对应的固有频率解析式，即正则模态分析中的阻尼和外载荷可被忽略。根据有限元边界条件，令主振动为 ω（x，y，t）=Ψ（x，y）sin（ωt+φ）和式（1）中 p（x，y，t）=0，其中 Ψ（x，y）为模态主振型，将其代入式（1）可得：

式中：B—比模量，B=E/ρ。从上式可得：ωH随着比模量B或板厚h的增大而越高。

综上所述，当盘式刹车片的型号一定时，其固有频率主要取决于摩擦材料的比模量。摩擦材料的比模量越大，盘式刹车片的各阶固有频率就越高；比模量越小，各阶固有频率就越低。

3 盘式刹车片的材料属性

盘式刹车片可由多种材料制造而成，但不同的材料具有一定的优缺点。常用的半金属摩擦材料因其材料热稳定性好、导热性好且克服了石棉摩擦材料早高温下热衰退严重、摩擦表面易开裂等缺点而被广泛应用于盘式刹车片。然而，近些年因复合材料的各向异性及其轻量等优点而被研究者所关注，使得新型复合摩擦材料[7-8]在盘式刹车片中得以应用。本节对盘式刹车片主要赋予半金属摩擦材料和新型复合摩擦材料，并依据材料手册为其固有频率的理论推导和模态仿真分析提供了准确的材料属性参数。半金属摩擦材料和新型复合摩擦材料的参数，如表1所示。

表1 半金属摩擦材料和新型复合摩擦材料的参数Tab.1 Material Paremeters of Semimetal and Novel Composite Materials

4 盘式刹车片模态分析及结果

根据第2节中表1的半金属材料和新型符合材料等参数，运用OptiStruct优化求解器对半金属材料盘式刹车片和新型复合材料盘式刹车片进行实模态分析，并验证第1节中盘式刹车片固有频率理论分析的正确性。半金属材料盘式刹车片前三阶固有频率，如表2所示。相对应的模态振型，如图1所示。

表2 半金属刹车片前三阶固有频率及振型Tab.2 First Three Order Natural Frequency and Modal Vibration Mode of Semimetal Brake Pads

图1 半金属刹车片前四阶模态振型Fig.1 First-Four Order Modal Vibration Mode of Brake Pads Used Semimetal

新型复合材料刹车片前三阶固有频率，如表3所示。相对应的模态振型，如图2所示。

表3 新型复合材料刹车片前三阶固有频率及振型Tab.3 First Three Order Natural Frequency and Modal Vibration Mode of Novel Composite Brake Pads

图2 新型复合材料刹车片前四阶模态振型Fig.2 First-Four Order Modal Vibration Mode of Brake Pads Used Novel Composite Materials

依据第2节中的半金属材料和新型复合材料等参数，在第3节运用OptiStruct分别提取赋予半金属材料和新型复合材料的刹车片模态结果。模态仿真结果对比：新型复合材料刹车片的低阶固有频率明显高于半金属材料刹车片的低阶固有频率。且第3节中的模态仿真对比结果很好地解释了第1节中的理论解析式，即材料比模量越大，盘式刹车片各阶固有频率就越高。

5 盘式制动盘模态分析

5.1 有限元模型构建

基于HyperMesh有限元前处理对某公司盘式制动盘的几何模型进行几何修复处理并划分六面体网格，最终离散为142585个六面体单元和182285个节点，如图3所示。

图3 盘式制动盘六面体网格Fig.3 Hexahedral Mesh of Disc Brake Disc

5.2 基于OptiStruct的模态分析结果

基于Optistruct优化求解器对盘式制动盘进行前三阶固有频率的模态分析。计算后所得的前三阶固有频率及相应的模态振型分别，如表4、图4所示。

表4 盘式制动盘前三阶固有频率及振型Tab.4 First Three Order Natural Frequency and Modal Vibration Mode of Disc Brake

图4 前四阶模态振型Fig.4 First-Four Order Modal Vibration Mode of Disc Brake Disc

6 盘式制动盘形状优化设计

为了能更好地改善盘式制动盘的动态性能，基于HyperMorph的形状预变形定义并将其作为形状优化的设计变量，采用OptiStruct优化求解器计算盘式制动盘的模态低阶固有频率。该方法为拓扑优化联合形状优化在工程结构领域的应用提供了相关理论。

6.1 基于HyperMorph的优化模型

图5 基于HyperMorph的形状优化Fig.5 Shape Optimization Based on Hyper Morph

形状优化技术是通过将网格节点移动或变形到某一个新的位置，相当于改变零部件CAD设计形状，可有效改善产品的性能如刚度、模态固有频率等。基于HyperMorph网格变形的形状优化是运用HyperMorph在可行的设计空间，凭自身的工程经验对网格进行合理的变形。并通过OptiStruct进行形状优化求解，使形状达到性能最佳位置，如图5所示。

基于HyperMorph对节点扰动进行变形预定义，其扰动公式：

综上所述，对盘式制动盘以固有频率最大化为目标函数的形状优化设计，其优化模型为：

式中：p—节点位置，作为形状优化设计变量；λ—特征值，作为目标函数。

6.2 基于HyperMorph变形预定义

HyperMorph技术能以有效的、逻辑的和直观的方式对一个模型的网格进行变形，具有迅速交互地或参数化地改变现有模型的几何、将已有网格映射到一个全新的几何上和为优化设计创建或编辑形状变量等优点。通常，形状优化的前期准备需借助HyperMorph对优化对象进行形状变化的预定义。本节运用HyperMorph对盘式制分别进行四次形状预定义，记为outer、fin_width、fin_radius、plate，并将其作为形状优化的设计变量，如图6所示。

图6 基于HyperMorph盘式制动盘形状预定义Fig.6 Shape Predefine of Disc Brake Disc Based on HyperMorph

6.3 形状优化结果

基于OptiStruct优化求解器对盘式制动盘以固有频率最大化为目标函数进行形状优化求解，结果，如图7所示。

图7 形状优化结果及剖视图Fig.7 Shape Optimization Result and Srction

从图7可得，盘式制动盘的轮毂在径向处的厚度往外变大，制动盘的肋在高度上有所变小而宽度增加。

形状优化后的的固有频率，如表5所示。相应的模态振型，如图8所示。

表5 基于形状优化后的前三阶固有频率及振型Tab.5 First Three Order Natural Frequency and Modal Vibration Mode Based on Shape Optimization

图8 前四阶模态振型Fig.8 First-Four Order Modal Vibration Mode

从表5中可得一阶固有频率从形状优化前的931.4982Hz提升到957.7489Hz。

6.4 形状优化灵敏度分析

对于复杂结构工程的优化问题，常有繁多的设计变量可作为参考及修正，而灵敏度分析是为了获取某个设计变量的改变对结构特性的影响。因此，灵敏度分析在优化问题中具有重要的作用。它可尽可能地避免盲目地选定及调整优化过程中的设计变量，益于提升设计的效率，降低研发周期和生产成本。分析结果可为结构后续优化、维护乃至近似技术等导出重要梯度信息。

若目标函数F（x）可导，求解目标函数关于设计变量的灵敏度为

灵敏度分析常有解析法、半解析法和伴随变量法等方法。采用伴随变量法（梯度法迭代）对盘式制动盘形状优化在设计过程中的设计灵敏度进行分析。对于盘式制动盘的动态自由模态问题：

求解关于设计变量xi的一阶偏导得：

模态分析中，因K为对称刚度矩阵，M为归一化质量矩阵，即φTMφ=1。且固有频率f和圆频率ω间满足ω＝2πf。式对上式左乘φT并结合式（8）可得求解固有振动频率的动态灵敏度：

依据以盘式制动盘固有频率最大化为目标函数的形状优化及设计变量的灵敏度推导公式，其设计变量参数，如表6所示。

表6 形状优化设计变量表Tab.6 Design Variable Parameters of Shape Optimization

运用OptiStruct优化求解器进行形状优化灵敏度分析，结果，如图9所示。

图9 灵敏度分析结果Fig.9 Sensitivity Analysis Results

从图9中可看成，设计变量plate对盘式制动盘以低阶固有频率最大化的形状优化结果影响较大，其次是设计变量outer，设计变量fin_width。因此，可对制动盘的厚度和肋的宽度做针对性的设计改进，用以提高制动盘的低阶固有频率。

7 总结

对盘式制动器进行了动态性能的理论和仿真分析。首先，依据动力学原理对盘式刹车片固有频率的理论解析进行推导，并得到固有频率主要取决于摩擦材料的比模量。其次，基于OptiStruct求解器对盘式刹车片进行模态分析，计算结果用以验证理论解析的正确性。然后，基于HyperMorph对盘式制动盘进行变形预定义并将其作为形状优化的设计变量，并通过OptiStruct优化求解器得到优化后盘式制动盘的最佳形状。最后，对形状优化进行灵敏度分析。

对盘式刹车片的理论推导和仿真分析为工程师选择最佳的摩擦材料提供了理论基础。对盘式制动盘的形状优化技术，为工程项目中改善结构整体或局部性能提供了一种切实可行的方法。且优化目标函数相对设计变量的灵敏度分析结果可为工程师提供重要梯度信息，能有效避免盲目地选定及调整优化过程中的设计变量，益于提升设计的效率，降低研发周期和生产成本。

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［2］周志勇，樊启蕴，张宏.盘式刹车制动盘热应力弹性计算及分析［J］.石油机械，1998.（Zhou Zhi-yong，Fan Qi-yun，ZhangHong.Thermal elastic stress calculation and analysis of disc brake［J］.China Petroleum Machinery，1998.）

［3］周志勇，张宏.盘式刹车制动盘的高温失效机理和寿命计算［J］.石油机械，1998.（Zhou Zhi-yong，Zhang Hong.High temperature failure mechanism and life calculation of disc brake［J］.China Petroleum Machinery，1998.）

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［5］倪振华.振动力学［M］.西安：西安交通大学出版社，1990.（Ni Zhen-hua.Vibration Mechanics［M］.Xi’an：Xi’an Jiangtong University Press，1990.）

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