APP下载

数学趣谈—球面积公式的不同导出方法

2018-03-04马晓悦

数学学习与研究 2018年23期
关键词:圆面积

马晓悦

【摘要】 本文以古人利用求三角形面积导出圆面积公式,利用求梯形面积导出圆面积公式为引入,进一步将球面展开利用不同的方法导出球面积公式.

【关键词】 三角形面积;梯形面积;圆面积;球面积

圆面积πr2,球面积4πr2,这些公式从何导出:

一、圆面积πr2如何导出

中国古代的数学家,用分割圆面积的方法导出了πr2.其过程是:将一个以2πr为周长的圆,通过圆心,以半径r为腰,分割成n个微小的等腰三角形,利用三角形求面积的方法,得出微小的等腰三角形的面积,再乘原来分割的次数n,即得到圆的面积,其理由是:当圆周2πr的长度被分割的次数越多,则分割后的长度越短,当分割到其长度趋于0时,微小的等腰三角形中间的垂线,等于半径r,这时  2πr n ×r ÷2即为微小三角形的面积,再乘原来分割的次数,即为整个圆面积,这就是中国古人求圆面积的方法,其公式如下:

2πr n ×r ÷2×n= 2πr n × 1 2 r×n=2πr× 1 2 r=πr2.

以上是利用求三角形的面积的方法导出圆面积.也可以用求梯形面积的方法导出圆面积.如图1所示.

设半径为r,将圆周分为四等分,则圆周的长度为 2πr 4 ,梯形的上部分是圆心,其长度为0,底部分的长度为 2πr 4 ,计算公式为:

0+ 2πr 4  ÷2×r×4= 2πr 4 × 1 2 ×r×4=πr2.

如果把一个整圆分割一次,用求梯形面积的方法导出圆面积也是可行的:

设半径为r,若圆为梯形,则圆心为上部分,其长度为0,底部分长度为2πr,其算式为:

(0+2πr)÷2×r=πr2.

我们的祖先,是用这个方法计算圆面积的,即用圆周长度的一半成以半径求面积.

也可用积分法导出圆面积,用圆周的长度积分,其过程为:圆周长度为2πr,积分∫2πr=2π∫r=2π 1 2 r2=πr2

二、球面积4πr2如何导出

方法一:圆面积πr2可以用三角形面积和梯形面积的求法导出,还可以用积分和其他方法导出,球面积4πr2如何导出?因为它是球面,各处都是2πr,是曲线,找不到平面,不过从4πr2分析,也可以用四个πr2面积来求出.

用2πr× 1 2 r=πr2这个算式,可以写成2r× 1 2 πr=πr2,它就变为 1 4 圆周的长度与直径的乘积,也可以得出圆面积πr2(如图2所示),这个公式把圆面积变为以2r为底, 1 2 πr为边的方形面积,圆变方.

用这个公式的变换,可以探索球面积的计算方法:我们把球四等分,先求 1 4 的球面积(如图3所示),在这部分球面积上找一点为中心,从中心点往上,其圆周长度为 1 2 πr,往下也为 1 2 πr,从中心点的左到右也为 1 2 πr,球的半径为r,就可以用2r× 1 2 πr=πr2,求出 1 4 的球面的面积,方法是以r为半径,画出球体的平面圆,而中间从左到右,都在平面圆以内,如果把 1 4 的球面,其上下突出于平面圆的部分分割开来,弥补球面中间不能覆盖平面圆的部分,则 1 4 的球面就与平面圆面积相等,这样 1 4 的球面积就可用平面圆的面积来计算,具体计算如下,先算 1 4 的球面的下半圆,将 1 4 的球面下端突出的部分,用r- 1 2 πr加到中间不能覆盖平面圆的部分.

中间 1 4 球面的宽度为 1 2 πr,比平面圆的直径2r短,如果用r+ 1 2 πr,则中间全覆盖,但这部分是外加r后覆盖的,应用 1 4 球面在下端突出的部分补偿,于是下半 1 4 球面积的直径= r- 1 2 πr + r+ 1 2 πr , 1 4 的球面积下半部分就完整了,其直径为2r.

用数学推导可以证明:下半 1 4 球面突出平面圆的部分,其面积等于中间 1 4 球面未能覆盖平面圆的部分面积,其值为0.2854r2, 1 4 球面积的上半部分也可用这观念去分析,就是说 1 4 球面的面积,与r为半径的平面圆的面积相等.

找到直径2r,就可以引用2r× 1 2 πr的公式求 1 4 的球面积,其公式为:

1 2 πr×  r- 1 2 πr + r+ 1 2 πr  = 1 2 πr×2r=πr2要得到整个球面积πr2×4=4πr2其总体表达式为:

4×  1 2 πr×  r- 1 2 πr + r+ 1 2 πr   =4×

1 2 πr×2r=4πr2.

举例:设r=3 cm,求以r为半径的球面积:

4×  1 2 π×3×  3- 1 2 π×3 + 3+ 1 2 π×3

=4×4.7124×6

=113.0976 cm2.

用4πr2计算:

4×π×32=4×3.1416×9=113.0976 cm2.

方法二:直接用 1 4 球面积计算其面积,将面积分为上下两部分,先算下面一部分,用等腰梯形面积和三角形面积相加如上图,在平面圆以内看成是梯形面积,突出平面以下,看成是三角形的面积,如果两者之和等于 1 2 πr2,就能算出整个 1 4 球面的面积为πr2.在平面圆内的梯形,其上边为 1 2 πr,下边为未知数,突出平面圆的三角形,其高为 1 2 πr-r,底邊为未知数,也就是球面突出于平面圆之处,球面两边连线的长度是多少?这个长度就是梯形的下边,也是三角形的底边,要先解决两边连线的长度,则梯形面积和三角形面积都可计算了.

我们用前面一致的三角形面积=0.2854r2,用这个数据反过来求三角形的底边长度.

设三角形底边长度为x,则:

1 2 πr-r ×x÷2=0.2854r2,

1 4 πrx- 1 2 rx=0.2854r2,rx  1 4 π- 1 2  =0.2854r2,

rx0.2854=0.2854r2,

所以x=r,这就是梯形的下边和三角形的底边的长度均为r.现在推导 1 4 球面的面积:等腰梯形面积加上三角形面积

1 2 πr+r ÷2×r+  1 2 πr-r ×r÷2

=  1 4 πr+ r 2  ×r+  1 2 πr-r × 1 2 r

= 1 4 πr2+ 1 2 r2+ 1 4 πr2- 1 2 r2

= 1 2 πr2,

即为 1 4 球面下半部分的面积, 1 4 球面的面积为2× 1 2 πr2=πr2,整个球面积:4×πr2=4πr2.

方法三:积分 1 4 球面的面积,将下端突出于平面圆的部分减去,即  1 2 πr-r ,补偿中间不能覆盖平面圆的部分,同时,中间 1 4 球面,其宽度为 1 2 πr,小于平面圆的直径2r,不能覆盖平面圆,必须借外加r,即  1 2 πr+r ,使之全覆盖.

计算式为:  1 2 πr-r +  1 2 πr+r ,

积分∫   1 2 πr-r +  1 2 πr+r

=∫ 1 2 πr-∫r+∫ 1 2 πr+∫r

= 1 2 π 1 2 r2- 1 2 r2+ 1 2 π 1 2 r2+ 1 2 r2

= 1 4 πr2+ 1 4 πr2

= 1 2 πr2,

即为 1 4 球面下半圆的面积,2× 1 2 πr2=πr2,即为 1 4 球面的面积,4πr2=球面积.

猜你喜欢

圆面积
如何让学生想到将圆等分成扇形来推导圆面积公式
(六年级上册)如何让学生想到将圆等分成扇形来推导圆面积公式
圆的面积知多少
基于数学史视角的圆面积教学设计思考
“圆面积公式”的误教与修正
基于GeoGebra的圆面积动态课件的设计与实现
小学数学“圆面积”教学的实践探索
圆环面积门诊室
圆柱表面积的另一种求法
用物理方法推导圆面积公式