高晓巍

摘 要：商品的定价与选购是经济问题中常见的两类问题。随着经济的快速发展，这两类问题所涉及的现实要素也日益复杂，引入优化模型是解决此类问题的有效途径。本文从建模的数学理论入手对两类模型展开对比分析，有利于模型的进一步优化，更好地适应经济发展的实际需要。

关键词：优化模型;选购优化问题;商品定价问题

中图分类号：F714.1      文献标识码：A      文章编号：1008-4428（2018）12-0005-03

一、 引言

随着科技的发展和社会的进步，人们开始追求更优质的生活方式，无论是工业生产、农业种植、商业决策还是交通运输都会遇到各种各样的优化决策问题，合理建立优化模型是解决现实问题的有效途径。

在云南滇池流域水污染问题中，昆明市委通过构建流域水文水质数学优化模型和湖体水质水动力数学优化模型对这一流域污染负荷总量和湖体水质响应进行预测，加强解决管理的效率，同时优化环境治理的解决方案，为地区的可持续性发展提供了有效指导;李智群将数学优化模型引入到我国的传统的茶叶种植劳动中，解决了茶叶的品质评估计量和优化;周博等人通过引入数学优化模型，采用定量计算与定性分析结合的方式实现了动车组资源的有效利用，由此可以看出优化模型的建立研究与我们的生活息息相关。

二、 优化模型数学基础

优化模型是指以达到优化的目的为目标而建立的数学模型，对于不同的实际问题建立不同的优化模型。从数学建模的理论基础主要可分为如下三种形式：

（一）线性规划的标准形式

minz=f（x）

s.t. g（x）≤0（i=1，2，…，m）

其中目标函数f（x）和约束条件中g（x）都是线性函数采用的方法：单纯性法。

Matlab函数：linprog（）

（二）非线性规划的标准形式

min=f（X）

s.t. gi（X）≥0 i=1，hj（X）=0 j=1

X=（x1，x2，…，xn）T∈En，f，gi，hi是定义在En上的实质函数，简记：

f：En→El，gi：En→El，hj：En→El。

（三）整数规划的一般形式

minz（maxz）=∑nj=1cjxj

∑nj=1aijxj=bi（i=1，2，…，m）xj≥0（j=1，2，…，n）且部分或全部为整数

根据决策变量取整的条件不同，整数规划可以分为四类，第一类：0-1整数规划，全部的决策变量只有两个选择0、1，它在整数规划中占据非常重要的地位，分枝定界法是用来求解0-1规划的最常用的一种方法。第二类：纯整数规划，这类整数规划的决策变量需要取非负数。第三类：全整数规划，在纯整数规划的基础上系数和常数也要取整数。第四类：混合整数规划，这种规划方法分两部分，一部分取非负整数，一部分取可以取非负实数。

三、 商品定价与选购优化模型分析

（一）商品定价问题

在生产经营领域，厂商均要考虑在生产链条中合理利用资源获取经济利益的最大化，实现企业的长期稳定发展，保持不败的竞争力。合理制定产品的价格就是其中的一个要素。产品最优价格制定模型是经济学中比较典型的一个优化模型。

1. 商品定价模型

假设：产品的销售量与产品的价格相关，产品的成本与产品的产量相关。

设每件产品的价格为p，每件产品成本用c来表示，销售量用x表示，总收入用I表示，总支出用C表示，利润为R，利润=销售收入-成本支出，总收入和总支出可以表示为

I=px C=cx

销售量x是价格p的函数，表示为x=f（p）; f为需求函数。

成本c是销售量x的函数，表示为c=φ（x）;φ为成本函数，利润R可以表示为

R（p）=I（p）-C（p）

I（p）=pf（p） C（p）=φ（x）f（p）=φ{f（p）}f（p）

R（p）=I（p）-C（p）=pf（p）-φ{f（p）}f（p）=f（p）（p-φ{f（p）}）

由一元函数取极值的条件知，当dRdp=0得到的价格p就是最优价格p*，即使利润R（p）达到最大时的最优价格p*=p。

2. 模型的求解

dIdp表示边际收入，dCdp表示边际支出，当dIdp=dCdp时利润达到最大。

设需求函数为简单的线性函数，f（p）=m-np（m，n>0）;

设成本函数为φ（x）=α+1/（βx+γ）（α，β，γ>0），其中，α表示最低成本，β表示产品数量增加或减少的幅度，γ为调节常数，即产品的最大成本为（α+1/γ）。

R（p）=I（p）-C（p）=f（p）（p-φ{f（p）}）

=（m-np）p-α-1β（m-np）+γ

=（m-np）p-α-1βm+γ-nβp

由dR（p）dp=0得，

nβp-（2nβγ+2mnβ+nβα）p+（γ+2mβγ+mβ+2mnβα+2nβαγ）p-α（γ+βm）γ=0

得出的方程是一個关于p的三次方程，其中m、n、α、β和γ在已知的条件下即可以求出价格p，即最优价格p*=p。在实际问题的研究中，m和n由价格和销售量的数据是通过用最小二乘法拟合来确定的。α、γ是已知的常数，β根据产量得出，所以就可以得到最优价格。

3. 模型应用

设某种商品销售中的市场需求函数为

f（p）=3-p4

在销售的过程中商品因受到挤压碰撞等会有损失，每件商品的成本随产品数量增减的变化幅度是0.03，调节常数为2，商品的最低成本为5。

设成本函数为φ（x）=α+1/（βx+γ）

由题知α=5，β=0.03，γ=2

R（p）=I（p）-C（p）=f（p）（p-φ{f（p）}）

=（m-np）p-α-1β（m-np）+γ

=（m-np）p-α-1βm+γ-nβp

由dR（p）dp=0得，

nβp-（2nβγ+2mnβ+nβα）p+（γ+2mβγ+mβ+2mnβα+2nβαγ）p-α（γ+βm）γ=0

由題知需求函数为f（p）=3-p/4，则m=3，n=1/2

12×0.03p-2×12×0.06+2×32×0.03+12×0.15p+（2+2×0.18+0.09+2×32×0.15+0.3）p-5（2+0.09）2=0

p≈6.99，即p*=p=6.99。

通过模型的分析与求解，该商品定价为6.99元时，商家可获得最大利润。

（二）商品选购问题

一般情况下，在商品价格及消费者收入一定的条件下，消费者在商品选购中用无差异曲线来描述其对两种商品的偏好和满意程度，实现资金的合理分配。

1. 商品选购模型

假定消费者的收入水平是不变的，市场中的商品的价格已知，消费者购买商品，则它的边际效用与价格之比相等。

记消费者的既定收入是C，要购买2种商品。用x1，x2分表来表示2种商品的数量，消费者的满意程度是x1，x2的函数，U（x1，x2）=m（m为常数），这在经济学中称为效用函数。

如图1所示U（x1，x2）=m的图像是无差异曲线，在同一条无差异曲线上，对于不同的x1，x2，效用函数值总是相同，商品对消费者的效用增加或减少可以通过曲线向右上方或左下方移动表明，消费者对两种商品的偏爱程度则可以通过曲线的弯曲程度来表示。

假定有两种商品，它们的价格分别为p1、p2，消费者有C元，消费者选择什么样的方法用C元购买两种商品使得效用U（x1，x2）最大，即经济学中的消费者均衡。

消费者购买两种商品的花费分别为p1x1、p2x2，因此消费者最优购买问题就是在p1x1+p2x2=C的条件下求p1x1p2x2使得 U（x1，x2）得最大值。根据数学计算知最优解应满足Ux1Ux2=p1p2。

2. 模型求解

当U（x1，x2）给定的条件下，上式可确定最优比例p1x1p2x2。假定效用函数

U（x1，x2）=xa1xb2

U/x1U/x2=axa-11xb2bxb-12xa1=ax2bx1=p1p2

p1x1p2x2=ab

当消费者收入水平不变时，商品的价格已知，消费者购买商品时商品的边际效用与价格之比相等，满足p1x1p2x2=ab，就能使得U（x1，x2）得最大值。

3. 模型应用

假设消费者的固定收入是5000元，要用来全部进行购买2种商品A、B。我们用x1，x2是购买2种商品A、B的数量，U（q1，q2）=x31x22，两种商品的价格分别为100元、50元，消费者选择什么样的最优购买方式购买两种商品A、B使得效用U（x1，x2）最大？

购买两种商品用的花费分别为100x1、50x2，在100x1+500x2=5000的条件下求100x1/50x2的值，使得U（x1，x2）得最大值。

根据数学计算知最优解应满足

Ux1Ux2=10050=2

已知U（x1，x2）=x31x22

Ux1=3x21x22

Ux2=2x12x31

U/x1U/x2=3x21x222x12x31=3x22x1=10050=2

2x1x2=32

x1x2=34

设购买B种商品的数量为x

100×34x+50x=5000

x=40

购买商品A、B的表数量比为3∶4时，即购买A的数量为30，购买B的数量为40时使得效用U（x1，x2）最大。

四、 结论

在经济领域中，优化模型的引入有效地解决了很多棘手的问题，但同时，随着经济的进一步发展，各类复杂的问题相继不限，在问题的解决过程中不得不在原有模型的基础上进行优化和推广，使得模型的建立与求解更加符合实际需要，因此，其已成为不断学习研究的关键。

参考文献：

[1]李智群.论数学优化模型在茶叶品质估算误差分析中的应用[J].福建茶叶，2017（6）：14.

[2]周博，李文.动车组运用方式的数学优化模型分析[J].智能信息技术应用，2010（11）：288-291.

[3]杨能良，黄鹏.教育扶贫——我国扶贫的财政学思考[J].福建财会管理干部学院学报，2002（1）：14-15.

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