申佩娴，薛亚奎

(中北大学 理学院， 太原 030051)

根据实验结论[10]，只有当食饵感知到捕食者散发出的气味时才会减低其自身的繁殖率，造成种群整体数量的减少，进而影响捕食者种群的数量。假设捕食者只能捕食避难所之外的食饵，并且捕食者散发出的气味只对避难所之外的食饵的出生率造成影响，由此考虑避难所保护食饵的数量对模型的影响：当避难所保护食饵的数量逐渐增多时，会导致捕食者可捕食的食饵数量减少。本文用r0[1-cy]+刻画捕食者释放的气味对食饵出生率所造成的影响，其中把单个捕食者产生的气味干扰看做常数c，捕食者数量用y(t)表示。当气味干扰足够小或捕食者种群数量足够少时，避难所外食饵的出生率将不受捕食者气味影响；反之，食饵出生率将为0。由此建立如下模型：

(1)

其中：x(t)表示捕食种群数量；y(t)表示食饵种群数量；r0表示食饵的自然出生率；c表示气味对食饵出生率的干扰系数；mx(t)表示避难所保护的食饵数量；(1-m)x(t)表示能被捕食者能探测到的食饵数量；a表示食饵种群的密度制约系数；p表示捕食者的捕获率；u表示捕食者捕获食饵的转化率(u

假设m<1且c足够小，也就是说：避难所保护的食饵数量要少于食饵种群的总数量。由于气味对食饵种群的干扰系数依赖于捕食者种群的数量，因此只有气味干扰系数足够小时，避难所外的食饵才可以继续繁殖和生长。如果不满足以上条件,捕食者种群将会灭绝。因此，系统(1)变为：

(2)

1 系统解的有界性

定理1 系统(2)的全部正解都是一致有界的。

证明定义一个关于解的和函数[11]z(t)=x(t)+y(t)，则

-ax2+r0x-[p(1-m)-u(1-m)]xy-d1x-d2y≤x(-ax+r0)-mind1,d2}z

(3)

所以总存在一个正数β1，使得式(3)变为

2 模型的分析

2.1 平衡点的存在性

证明显然系统存在灭绝平衡点E0；若(T1)成立，即r0>d1，存在边界平衡点E1(x1,0)。

令系统(2)右端为零，即

(4)

由方程组(4)的第2个方程可得

(5)

将式(5)代入方程组(4)的第1个方程,可得

(6)

2.2 平衡点的局部稳定性

定理3 设：(T3)r0

1) 若(T3)成立，则E0局部渐近稳定；若(T1)成立，则E0不稳定。

2) 若(T1)、(T4)同时成立，则E1局部渐近稳定；若(T1)、(T2)同时成立，则E1不稳定；若(T5)成立，则E1是一个鞍结点。

3) 若(T1)、(T2)同时成立，则E2局部渐近稳定。

证明系统(2)在灭绝平衡点E0处的Jacobian矩阵为:

系统在平衡点E0处的特征方程为：

λ2+(d2+d1-r0)λ+(d1-r0)d2=0

(7)

显然，λ1=-d2是方程(7)的一个根，若(T3)成立，则方程(7)的所有根均为负，E0局部渐近稳定；若(T1)成立，则方程(7)有一个正根，一个负根，故E0不稳定。

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系统(2)在边界平衡点E1处的Jacobian矩阵为：

则

故若(T1)、(T4)同时成立时，E1局部渐近稳定；若(T1)、(T2)同时成立时，E1不稳定。

(8)

系统(2)在正平衡点E2处的Jacobian矩阵为：

其中：

a12=-r0cx*+r0cmx*-p(1-m)x*

a21=u(1-m)y*

a22=u(1-m)x*-d2

则：

其中：

2.3 平衡点的全局稳定性

[r0-d1+u(1-m)]x-r0cyx(1-m)-ax2-p(1-m)xy-d2

证明令

F1(x,y)=r0mx+r0(1-cy)(1-m)x-p(1-m)xy

-ax2-d1x

F2(x,y)=u(1-m)xy-d2y

3 讨论

图1 系统(2)随避难所系数m及气味干扰系数c变化的轨线

从图1(d)和(e)可知：随着避难所系数m的增大，系统趋于稳定的时间延长，食饵种群和捕食种群的数量明显增加。从图1(f)可以看出：当避难所系数m足够大时，食饵数量将会大量增加，而捕食种群将趋于灭绝。因此，在一定的捕食者气味干扰下对食饵种群加入适当的避难所，不仅可以增加食饵种群的数量，同时也有利于捕食种群数量的增加。可见，气味干扰下对食饵种群加入避难所对捕食系统起着关键性的作用。

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