王彩锋， 高世桥， 牛少华， 刘海鹏

(北京理工大学 机电学院，北京 100081)

轻质、低频、弱阻尼的人行桥在行人步行载荷下的振动和舒适度问题已成为研究热点[1-2]。在人行桥的竖向振动分析中，目前大多数桥梁设计规范[3-5]将行人模拟为施加在结构表面的移动步行力，这种方法对单人过桥的振动响应预测很准确，但是当考虑人群过桥时，其计算结果往往对结构响应估计过大，这主要是由于忽略了行人-结构之间的相互作用，其中，除了结构振动在一定程度上影响行人步行力以外，更重要的是行人自身作为复杂的生物动力学系统，其存在会改变结构固有的动力特性[6-8]。

目前，关于人群-结构竖向耦合振动的研究还较少，其难点之一在于确定合理简单的行人动力学模型。早期的研究将行人视为附加质量，随着生物力学的发展，研究者尝试将行人模拟为双足倒摆(Bipedal Inverted Pendulum)模型[9-11]和单(或双)自由度弹簧-质量-阻尼器振子(Singel/Two Degree-of-Freedom Spring-Mass-Damper Oscillator，S/TDOF SMD)模型，并取得一些进展，本文的研究仅限于后者。由于获得步行人体的SMD模型参数比较困难，目前研究者大多借用生物力学中人腿刚度、阻尼的研究成果，或者已相对完善的静止(站、坐)人体的SMD模型参数。例如，Caprani等[12-14]均采用SDOF SMD模型，参考生物力学成果，取行人刚度、阻尼和质量分别为满足一定参数的随机分布；刘隆等[15-18]均采用SDOF SMD模型，其中刘隆等采用人体坐姿下的确定性动力参数，何浩祥等和陈舟等均采用人体单腿站姿下的确定性动力参数；金飞飞[19]采用TDOF SMD模型，取双腿站姿下的确定性动力参数。然而，①生物力学中的人腿动力参数是基于人体双足模型获得的，若没有经过土木结构振动实验验证，不一定能直接应用于行人SMD系统；②步行时人体姿势的不断变化以及肌肉的交替收缩与放松，使步行人体比静止人体的频率偏低，阻尼比偏高[20-21]；③上述研究大多仅针对某一特定频率的结构，不同频率的结构在行人SMD系统耦合作用下的动力特性可能不同，忽略人群中行人动力特性的差异可能导致模态参数的预测出现较大误差。因此，行人SMD模型参数的合理性成为解决人群-结构耦合振动问题不容忽视的一个重要方面。

为此，鉴于竖向耦合振动中行人SMD模型的研究尚未成熟，本文从简单方便的SDOF SMD模型入手，分析其动力参数的随机特性，建立步行人群-结构耦合动力方程；针对不同频率的结构和不同的人群规模，研究行人SMD模型参数对耦合系统固有频率和阻尼比的影响，以期为行人-结构耦合振动分析与设计提供一定参考。

1 行人SDOF SMD模型参数

文献[22]给出两种行人SDOF SMD模型，如图1所示，模型a为弹簧-弹性质量-阻尼器系统，模型b为弹簧-弹性质量-阻尼器-刚性质量系统。两种模型的主要区别在于行人总质量的分布不同，即模型a中mp为弹性质量，而模型b中mp1为弹性质量，mp0为刚性质量，二者之和约等于行人质量，kp和cp分别为行人刚度和阻尼。行人频率fp和阻尼比ζp分别表示为

(a)模型a(b)模型b

图1 行人SDOF SMD模型

Fig.1 SDOF SMD model of pedestrian

(1)

近几年模态测试技术的发展，使研究者可以基于空载和承载结构的模态特性，借助逆向工程方法计算行人SMD模型参数，表1列出了最近几年的研究结果。由表1可以看出，大多数研究者的SMD模型参数具有统计分布性，但是其分布特征值或边界值却存在一定差别，并且与测试结构没有明显的联系。例如，根据文献[23]，质量70 kg、步频2 Hz的行人的频率为2.761 Hz，阻尼比为0.542；根据文献[24]，行人的平均频率为2.089 Hz，平均阻尼比为0.471；文献[25-26]虽然针对同一结构，但前者给出的频率和阻尼比均明显小于后者；根据文献[27]，行人频率和阻尼比的95%分位点分别为4.13 Hz、0.572 Hz，远大于文献[28]对应的上边界值。

表1 不同研究者的行人SDOF SMD模型参数

综上比较可知，在不同的结构振动环境下，行人SMD模型参数具有较宽的取值范围，应按随机分布考虑，这可能是由于人体具有较强的振动自适应性。为了包含所有合理取值，本文采用行人频率范围1.0～4.5 Hz，阻尼比范围为0.1～0.6，由于已知文献中对于它们没有统一的概率模型描述，本文假定它们为均匀分布。考虑到模型a和模型b在预测结构模态特性时都比较出色，本文选择相对简单实用的模型a，其弹性质量按文献[30]作保守估计，取均值70 kg、变异系数0.18的正态分布。

2 步行人群-结构耦合自由振动方程

考虑一列包含n个行人的人群上桥至完全离开桥梁，步行人群与人行桥组成的耦合系统如图2所示，人行桥简化为等截面简支梁，长度L，单位长度质量mb，阻尼cb。每个行人模拟为移动的SMD系统，其中kp,w，cp,w，mp,w，zw，vw分别表示行人w的刚度、阻尼、弹性质量、竖向动位移和步速。记行人w到达人行桥左端的时间t=τw，假定步速恒定，则其到达人行桥右端的时间t=τw+L/vw。为方便研究，文中规定行人到达人行桥左端时表示在桥上，到达右端时表示不在桥上，则表示行人w是否在桥上的状态函数Sw(t)定义为

Sw(t)=H(t-τw)-H(t-τw-L/vw)=

(2)

式中：H(·)为Heaviside函数，并定义H(0)=1以便与前面的规定保持一致，因此Sw(t)=1为行人w在桥上，Sw(t)=0为行人w不在桥上。

图2 步行人群-结构耦合作用示意图

若简支梁的自由度数取N，则简支梁与n个行人组成的耦合系统包含N+n个自由度，其矩阵形式的自由振动方程表示为

(3)

式中：U，M，C，K分别为广义的位移向量、质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，其具体表达式分别如式(4)～式(7)所示。

U={q1,q2,…,qN,z1,z2,…,zn}T

(4)

(5)

式中：IN×N为N×N阶单位矩阵；Mp=diag[mp,1S1(t),mp,2S2(t),…,mp,nSn(t)]。

(6)

式中：C11=Cb+Ψ。

Cb=diag(2ζ1ω1,2ζ2ω2,…,2ζNωN)

C12=[-cp,1ΦU[v1(t-τ1)]S1(t),-cp,2ΦU[v2(t-τ2)]S2(t),…,-cp,nΦU[vn(t-τn)]Sn(t)]；

C21=[-cp,1Φ[v1(t-τ1)]S1(t),-cp,2Φ[v2(t-τ2)]S2(t),…,-cp,nΦ[vn(t-τn)]Sn(t)]T；

Cp=diag[cp,1S1(t),cp,2S2(t),…,cp,nSn(t)]。

(7)

式中：K11=Kb+Ω。

K12=[-kp,1ΦU[v1(t-τ1)]S1(t),-kp,2ΦU[v2(t-τ2)]S2(t),…,-kp,nΦU[vn(t-τn)]Sn(t)]；

K21=[-kp,1Φ[v1(t-τ1)]S1(t),-kp,2Φ[v2(t-τ2)]S2(t),…,-kp,nΦ[vn(t-τn)]Sn(t)]T；

Kp=diag[kp,1S1(t),kp,2S2(t),…,kp,nSn(t)]。

人群上下桥过程中，式(3)中的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵的元素及维数均为时变，传统的振型分解法无法解耦，需采用复模态法求解耦合系统的模态参数，引入

(8)

则式(3)的状态空间方程为

(9)

设式(9)的解为

X=φert

(10)

式中：r为特征值；φ为特征向量。

将式(10)代入式(9)得到特征值问题

(rA+B)φ=0

(11)

求解式(11)得到N+n对复共轭特征值，其中简支梁的特征值记为ri，则简支梁的第i阶固有频率和阻尼比分别为

(12)

利用Newmark-β法自编程序对式(3)进行逐步积分，取系数γ=0.25，β=0.5以避免计算时的不收敛情况，计算中取简支梁的自由度数N=5，时间步长0.002 5 s。

3 耦合系统基频和阻尼比

由于步行人群对结构的第一阶模态影响最显著，且第一阶模态对结构振动贡献最大，故本文仅考虑耦合系统的第一阶模态，重点分析在特定和随机SMD模型参数下，不同频率结构的耦合基频和阻尼比的变化规律。其中，人行桥结构参数参考Zivanovic等的研究，选择中等跨度的轻质人行桥，基频fb范围为1.5～8.0 Hz，分析步长0.1 Hz，阻尼比0.50%，跨度L=40 m，宽度B=4 m，单位长度质量mb=500 kg/m。人群长度2L，宽度B，人群密度ρ，包含行人数n=2ρBL，人群总质量与结构总质量之比(简称质量比)α=ρBmp/mb。需要说明的是，为消除人群步速差异带来的影响，所有行人的步速和上桥时间间隔都一致，当桥上行人流达到稳定状态时(即既定人群密度)，人群在桥上均匀分布，人群-结构耦合系统也达到稳定状态，步速大小不会对耦合系统的动力特性产生影响，故文中步速统一取为合理范围内的1.41 m/s。

3.1 SMD模型参数敏感性分析

分别分析行人频率、阻尼比和弹性质量对不同频率结构的耦合基频和阻尼比的影响。算例中人群密度ρ=0.2 Ped/m2，行人频率和阻尼比均取1节规定的范围，分析步长分别为0.1 Hz和0.01 Hz，弹性质量取1节规定正态分布的90%置信区间，即范围为44～96 kg，分析步长2 kg。

首先以空载结构基频2 Hz，行人频率2.75 Hz，阻尼比0.3，弹性质量70 kg为例。图3所示为耦合作用下结构基频foc和阻尼比ζoc的时程变化，可以看出，随着人群的逐渐上桥，结构的基频逐渐降低，阻尼比逐渐增大，当人行桥达到既定人群密度时，桥上行人数达到稳定最大值32，基频达到稳定最小值1.844 Hz，基频降低率(fb-foc)/fb=7.8%，阻尼比达到稳定最大值2.20%，阻尼比增加率(ζoc-ζb)/ζb=3.40，此后随着人群的逐渐下桥，结构基频和阻尼比逐渐恢复至空载值。

(a)桥上行人数(b)结构基频和阻尼比

(注：fb=2 Hz；fp=2.75 Hz；ζp=0.3；mp=70 kg)

图3 典型的结构基频和阻尼比

Fig.3 Typical natural frequency and damping ratio of occupied structure

图6所示为行人弹性质量对结构基频和阻尼比的影响，其中行人频率2.75 Hz，阻尼比0.3。与前面类似，在频率比fb/fp≈1.1附近(约3 Hz)，基频的降低和阻尼比的增加均比较明显，当弹性质量增大时，由质量比主导，基频降低率和阻尼比增加率也增大。

3.2 随机SMD模型参数的影响

分析随机SMD模型参数对不同频率结构在不同质量比(即人群密度)下的耦合基频和阻尼比的影响。算例中质量比范围为0.05～1，分析步长0.05，行人频率、阻尼比和弹性质量均按照1节规定的随机分布取值。每种设置进行500次Monte-Carlo模拟，每次模拟结果分别取结构达到既定人群密度时基频和阻尼比的平均值，最后分析在90%的置信区间内，基频和阻尼比的95%及5%分位点的变化规律，并将耦合基频与附加质量模型结果进行对比。所有结果列于图7，其中基频的95%、5%分位点以及质量模型结果均除以空载基频作归一化处理，阻尼比取95%与5%分位点的比值。

(a) 基频降低率

(b) 阻尼比增加率

图4 行人频率对结构基频和阻尼比的影响(ζp=0.3，mp=70 kg)

Fig.4 Effect of pedestrian frequency on natural frequency and damping ratio of occupied structure(ζp=0.3，mp=70 kg)

(a) 基频降低率

(b) 阻尼比增加率

图5 行人阻尼比对结构基频和阻尼比的影响(fp=2.75 Hz，mp=70 kg)

Fig.5 Effect of pedestrian damping ratio on natural frequency and damping ratio of occupied structure(fp=2.75 Hz，mp=70 kg)

(a) 基频降低率

(b) 阻尼比增加率

图6 行人弹性质量对结构基频和阻尼比的影响(fp=2.75 Hz，ζp=70 kg)

Fig.6 Effect of pedestrian sprung mass on natural frequency and damping ratio of occupied structure(fp=2.75 Hz，ζp=70 kg)

(a) 归一化耦合基频

(b) 2.0 Hz结构耦合基频

(c) 4.4 Hz结构耦合基频

(d) 7.0 Hz结构耦合基频

(e) 阻尼比95%与5%分位点之比

通常来讲，质量比增大时，耦合基频和阻尼比的差异增大，并且对阻尼比的影响大于基频。由图7(a)可以看出，当空载结构基频较低时(例如图7(b)中2.0 Hz)，基频的95%和5%分位点都小于1，随质量比的增大呈降低趋势，此时质量模型结果介于二者之间，表明质量模型具备一定的参考性；当空载结构基频提高时(例如图7(c)中4.4 Hz)，基频的95%和5%分位点可能小于1也可能大于1，随质量比的增大可能降低也可能提高，即此时结构基频可能低于也可能高于空载基频，应用质量模型有可能失效，例如，Silva等和Toso等的研究中空载结构基频4.27 Hz，实验发现当质量比分别为0.055、0.13和0.167时，归一化基频分别为0.986、0.94和0.904，Shahabpoor的研究中空载结构基频4.44 Hz，实验发现当质量比分别为0.03、0.049和0.074时，归一化基频分别为1.006、1.008和1.01，可见结构基频或降或增可能与空载基频有一定关系；当空载结构基频进一步提高时(例如图7(d)中7.0 Hz)，基频的95%和5%分位点都大于1，即耦合基频通常高于空载基频。

由图7(e)可以看出，当空载结构基频较低时，阻尼比95%与5%分位点之比一般大于2，表明阻尼比的变化范围较大，质量比增大时，比值也增大，即阻尼比随机性变强。例如，Kasperski的研究中，空载结构基频1.8 Hz，实验发现当质量比在范围0.009～0.024时，阻尼比比空载状态增加了100%～160%，质量比越大，阻尼比的随机分布越宽，这与本文的分析吻合。当结构基频较高时(例如高于5 Hz)，无论质量比如何变化，阻尼比的差异均较小。

4 结 论

(1)行人SMD模型参数具有较强的随机性，应考虑为一定范围内的随机分布，作为参考，本文取行人频率为1～4.5 Hz的均匀分布，阻尼比为0.1～0.6的均匀分布，弹性质量为均值70 kg、变异系数0.18的正态分布。

(2)在空载结构基频与行人频率之比不高于1.1、特别是约为1.1的频率范围内，结构受行人SMD系统的影响较大，耦合基频和阻尼比的变化比较明显。

(3)结构基频可能降低，也可能提高，这与空载结构基频和人群规模都有关系；人群规模越大，结构基频和阻尼比的随机散布就越大，尤其对于空载基频处于行人频率范围内的结构，这种趋势更明显，此时不宜采用确定性的行人SMD模型参数。

步行人群-结构的竖向相互作用比较复杂，本文只进行了初步研究，仍需要在不同的结构和人群工况下进行大量的现场实测，以获取更全面和精确的行人SMD模型参数及结构模态参数。

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