程海霞

摘 要：本文针对教学过程中出现的某些复杂的问题，以极限的计算为例，探讨了如何从幂级数理论中挖掘有效信息去解决相应的实际问题.提高了学生对信息的筛选和利用的能力，拓宽了学生对关联知识点的认知度和区分度。

关键词：有效信息;区分度;认知度

在高等数学教学中，解决实际问题是教学目标之一。然而在实际教学中会出现这样的困惑：当我们提出某一个知识点时学生基本上都会，一旦将这个知识点与其相关的知识点结合考察时学生就会犯糊涂。这就反映出学生在学习的过程中对知识点所折射出的信息掌握得不是很清晰，从而导致了在解决实际问题时对信息的利用产生了混乱，不能很好地解决问题.如果经常出现这样的情况，直接的危害是降低了学生对数学这门学科的热情，打击了他们的自信心。针对这一问题，分析了根源在于学生对关联知识点所反映出的信息的认知、筛选和利用这三方面的能力有待提高。

一、问题的提出

遇到极限问题大体的思路是：首先考虑的是判别极限的类型是函数极限还是数列极限;其次研究的是如何正确计算出具体的结果或者判定其敛散性.在此认知过程中极限的类型是很直接地判断出，但在计算过程中很多同学拿起来就直接使用四则运算、等价无穷小的代换、洛必达法则等等常规的方法。然而，随着计算的推进有时会发现越来越复杂，这就意味着通常的办法有时候显得笨拙，甚至失效。这就需要我们寻求其他的办法来解决。

二、对信息的认知

俗话说“工欲善其事，必先利其器”，比喻要做好一件事，准备工作要做好。引用这句话就是要求我们首先对幂级数理论中反应出的信息有充分的认识。我们的目的是从复杂的信息中挖掘出有效信息去解决极限问题。围绕这一问题，要明确的是有效信息具体指的是哪些信息。做到这一点，首先要求我们对幂级数理论内容有一定的了解或者掌握，其次在此基础上挖出与目标（极限）有关的信息。以幂级数为例，我们从级数理论中挖掘出如下常见的与极限有关的信息：

（1）在逼近理论中，满足一定条件的初等函数能用幂级数来表示，即对于x0的某一领域內具有任意阶导数的函数f（x），则存在多项式pn（x）使得f（x）=pn（x）+Rn（x），其中Rn（x）为f（x）的余项，pn（x）=■■（x-x0）k，见文[1-2].由这个公式我们自然地得到两方面的信息：一方面，对于x0的领域内任意点x，则■Rn（x）=0.另一方面，当阶数n较小时，考虑用pn（x）+Rn（x）取代某些函数来计算极限，就是把极限中的某些不同类型的函数，通过计算转换成同一类型的函数——pn（x）+Rn（x），再计算.

（2）由幂级数的敛散性知：对于给定的幂级数■anxn，由Abel定理易知其收敛区间，且在其收敛区间内此级数收敛于某一连续可导函数f（x）.进一步地，由f（x）的分析性质易知：f（x）=■anxn=■（a1x1+a2x2+…+anxn）.由此，当x取收敛区间内某一点x0时，则有■（a1x1+a2x2+…+anxn）=f（x0）这一重要的信息.从而可以解决某些无穷项的和式极限.

（3）由级数的收敛条件知：收敛的级数其通项必收敛于0.从这收敛条件中我们也可以得到两方面的信息：一方面，此条件对幂级数也成立.另一方面：考察某些数列的收敛性就只需要考察其对应级数的收敛性.

三、信息的筛选和利用

对理论工具包含的信息有了一定的认知后，如何筛选和利用这些信息关系到目标是否能够快速地实现.例如求

根据上述挖掘出来的信息，要求出其值，过程如下：

（1）信息的筛选。本例是典型的■型结构的函数极限，四则运算失效;又因为三角函数和指数函数是不同类型的初等函数且各自求导后其类型不变，故使用洛必达法则时计算量比较大.这就考察同学们能不能用更简洁的办法来计算.由上述的信息1）知道将这两类函数统一用幂级数展开后再计算就比较方便.又考虑到分母上幂函数的次数，显然选取n=4时将所有的代数式统一起来.

（2）信息的利用

当n=4时，由公式得：        ，       .

因而求得     =

（3）小结。该例是用级数解决极限问题的一个典型的应用.这种例题的特征是：代数式中含有几种不同类型的函数，比如三角函数、指数函数、对数函数等等，且用等价无穷小或者洛比大法则不能简便计算时就可以考虑用信息1），也就是幂级数的展开来计算.这样就归结为公式化的问题了.从而提高了同学们对解决这类问题的过程中如何筛选和利用有效信息的能力.

综上所述，在解决实际问题时我们要做到如下几点：

1）仔细分析需要解决的问题中所包含的信息，且找出与之相关的信息;

2）从相关的信息中筛选和利用某些有效信息;

3）利用有效信息将问题公式化、简单化、程序化，从而将问题得以快速地解决.

在高等数学的教学过程中体会最深的就是将新的理论知识不断地信息化、具体化，从这些看似杂乱无章的信息中挖掘出与其他知识点有关联的信息，从而将这些信息串联起来使其相互作用达到融会贯通，最终解决一些实际问题.这样不仅提高学生对新知识点的认知和掌握，而且不断地巩固了其他的知识点，使得学生不再片面地看待问题.从而将在整体上提高了学生处理问题的综合能力和数学素养.当然这过程也存在许多不足之处，希望在以后教与学的过程中不断地改进.

参考文献：

[1]同济大学应用数学系.高等数学（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]华东师范大学数学系.数学分析（上、下册）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]邵剑，李大侃.高等数学专题梳理与解读[M].同济大学出版社，2008：284-286.