一、选择题

1.C 2.B 3.C 4.C 5.B 6.C 7.C 8.B 9.C 10.B 11.D 12.D 13.D 14.A 15.C 16.D 17.A 18.C 19.A 20.B 21.D 22.B

二、填空题

三、解答题

38.(Ⅰ)连接OE,因为四边形ABCD是正方形,所以O是AC的中点。又E是侧棱SC的中点,所以OE∥SA。因为OE⊂平面BDE,SA⊄平面BDE,所以直线SA∥平面BDE。

图1

(Ⅱ)因为SA与BC所成角为60°,所以∠SAD=60°。 因 为SA=SD,所以△SAD为等边三角形。所以SA=4。在Rt△SAO中,AO=22,所以SO=22。建立如图1所示的空间直角坐标系,则D(0,-22,0),B(0,22,0),S(0,0,22),C(-22,0,0),所以=(0,-42,0)=(-22,-22,0)=(0,22,-22)。设平面SBC的法向量n=(x,y,1), 则 有(-1,1,1)。

39.(Ⅰ)取AB中点O,连接PO,CO,AC,所以△APB为等腰三角形,所以PO⊥AB。又因为四边形ABCD是菱形,∠BCD=120°,所以△ACB是等边三角形,所以CO⊥AB。又CO∩PO=O,所以AB⊥平面PCO。又PC⊂平面PCO,所以AB⊥PC。

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知PO=1,OC=3,所以OP2+OC2=PC2,所以OP⊥OC。

图2

以O为坐标原点,分别以OC,OB,OP所在直线为x,y,z轴,建立如图2所示的空间直角坐标系,则A(0,-1,0),B(0,1,0),C(3,0,0)P(0,0,1),D(3,-2,0),=(3,-1,0),C =(3,0,1)=(0,2,0)。设平面DPC的法向量为令x=1,得n=(1,0,3)。设平面PCB的法向量为m=(a,b,c),则令a=1,得m=(1,3,3)。所以。经观察二面角B-PC-D的大小为钝角,设为θ,所以

40.(Ⅰ)因为DE⊥平面ABCD,所以DE⊥AC。因为ABCD是正方形,所以AC⊥BD,从而AC⊥平面BDE。

(Ⅱ)因为DA,DC,DE两两垂直,所以建立空间直角坐标系D-xyz,如图3所示。

因为BE与平面ABCD所成角为60°,即∠DBE=60,所以由AD=3可知DE=36,AF=6,则A(3,0,0),F(3,0,6),E(0,0,36),B(3,3,0),C(0,3,0),所以

图3

图4

设平面ADC1与平面ABA1所成二面角

所以平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为。

42.(1)建立空间直角坐标系,如图5所示,则C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),A1(2,0,3),B1(0,2,3),C1(0,0,3),D(1,1,0)。

图5

解得λ=2。

43.以A为原点,AB为x轴,在平面ABC内过A点与AB垂直的直线为y轴,AA1为z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,如图6所示。设P(x,0,z),则B(a,0,0),A1(0,0,a),

图6

(Ⅱ)当A1P∶PB=2∶3时,P点的坐标是

44.(1)因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,又BD⊥DC,所以DC⊥平面ABD。因为AB⊂平面ABD,所以DC⊥AB。

又因为折叠前后均有AD⊥AB,DC∩AD=D,所以AB⊥平面ADC。

(2)由(1)知AB⊥平面ADC,所以二面角C-AB-D的平面角为∠CAD。

又DC⊥平面ABD,AD⊂平面ABD,所以DC⊥AD。

设AB=x(x＞0),则BD=x2+1。依题意△ABD∽△BDC,所以

如图7所示,建立空间直角坐标系D-xyz,则D(0,0,0),B(3,0,0),

图7

由(1)知平面BAD的法向量n=(0,1,0)。设平面ADE的法向量m=(x,y,z),由得y=-3,z=-3,所以m=(6,-3,-3)。所以

由图可知二面角B-AD-E的平面角为锐角,所以二面角B-AD-E的余弦值为。

45.(1)如图8,在平面ABB1A1内,过点A 作AN∥B1P交BB1于点N,连接 BQ,在 △BB1Q中,作NH∥B1Q交BQ于点H,连接AH并延长交BC于点M,则AM即为所求作的直线。

图8

(2)连接PC1,AC1,因为AA1=AC=A1C1=4,∠C1A1A=60°,所以△AC1A1为正三角形。

因为P为AA1的中点,所以PC1⊥AA1。

又因为侧面ACC1A1⊥侧面ABB1A1,且面ACC1A1∩面ABB1A1=AA1,PC1⊂平面ACC1A1,所以PC1⊥平面ABB1A1。

在平面ABB1A内过点P作PR⊥AA1交BB1于点R,分别以的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图9所示的空间直角坐标系P-xyz,则P(0,0,0),A1(0,2,0),A(0,-2,0),C(0,-4,23),C1(0,0,23)。

图9

因为Q为AC的中点,所以点Q的坐标为(0,-3,3),所以=(0,-2,23),

因为A1B1=AB=2,∠B1A1A=60°,所

设平面PQB1的法向量为m=(x,y,x=1,得y=-3,z=-3,所以平面PQB1的一个法向量为m=(1,-3,-3)。

设直线A1C1与平面PQB1所成角为α,则,即直线A1C1与平面PQB1所成角的正弦值为

46.(Ⅰ)依题意Rt△ABC≌Rt△ADC,∠BAC=∠DAC,△ABO≌△ADO,所以AC⊥BD。而PA⊥面ABCD,所以PA⊥BD。又PA∩AC=A,所以BD⊥面PAC。又BD⊂面PBD,所以平面PAC⊥平面PBD。

(Ⅱ)在平面ABCD内过A作AD的垂线为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立如图10所示的空间直角坐标系,则0),C(3,1,0)。设P(0,0,λ),所以

图10