兰梓睿，孙振清，靖富营

（1.天津科技大学 经济与管理学院，天津 300222；2.电子科技大学 经济与管理学院，成都 610054）

0 引言

碳排放问题已经成为全球学者研究的最热门方向之一，针对碳排放减少问题，各个国家或地区已经纷纷提出了自己的减排目标和减排政策，其中作为碳排放规制政策之一的碳排放限额政策也得到了大多数国家的普遍应用。碳排放限额政策的实施给高碳企业在经营管理中带来了挑战，同时也成为其在生产经营中不得不考虑的决策因素。目前，在碳排放限额政策下高碳企业生产决策研究中，主要研究体现在碳排放限额背景下的企业制造/再制造生产决策等方面的研究[1-3]，供应链管理研究[4-6]和订货决策研究[7]等，但是少有学者的研究兴趣在于碳排放高的企业收集数据信息等预测时域问题，尤其在碳排放限额政策背景下。

收集并解析未来多长时间的有效数据是碳排放高的企业在生产决策时面临的第一问题。这一类问题被定义为预测时域问题。碳排放限额背景政策下，预测时域的多少与高碳排放的企业生产批量的生产决策紧密联系，这是因为预测时域的大小影响着未来数据信息（需求、成本等）收集与解析，预测时域偏长代表了未来一段时间将有更多的数据信息需要收集和解析，进一步预示了需要投入更多的人、财、物和时间成本从而提高了预测费用，然而当时间越来越长，所收集到的数据信息的准确性也逐渐变低，所以每个决策阶段的后半部分所获取的数据信息对前半段时间内生产决策的影响也慢慢变得不可信；而预测时域的偏短可能会导致获取到缺失的信息数据，但是当前的决策结果得不到保证[8]。因而，在碳排放限额政策约束下，预测时域的大小和合理性将直接关系着高碳排放企业的费用大小和生产决策结果的可利用性，从而影响了该企业在运营管理中的效率。

本文考虑了碳排放限额政策构建了成本最小化模型，并且在此基础上提出相对应的网络流问题，分析得到包括最小成本解等在内的特性，不仅进一步建立了再生集合，而且设计出此研究方向的动态规划方法从而寻找到预测时阈以及各个影响因素。借助数值实验方法分析得出当高碳排放企业的生产固定成本和缺货成本增加了，预测时阈随之增加；而当该企业的仓储成本增加了，预测时域将降低，从而为高碳企业（钢铁、电力、化工企业等在生产过程中产生高碳排放的生产企业）进行生产决策提供了合理的建议，也为政府给予高碳企业进行低碳生产、转型补贴提供了理论依据。

1 模型构建

碳排放限额约束具体指高碳企业进行生产所需要的碳排放配额是政府限定的，当碳排放配额过剩或缺少时，企业不能在碳排放权交易市场出售或购买排放权。本文只考虑碳排放配额缺少的情况，因为碳配额过剩等同于配额不受限，并不影响高碳企业的生产决策。碳排放限额约束下，高碳企业由于碳排放配额受限造成了该企业缺货，而且缺货策略是过期不补，只在当期产生缺货成本。

在正式构建模型前，需要对以下符号进行定义和说明：

T：时间周期；

P(t)：t-周期问题，t=1，2，···，T；

xt：在t周期期初产品的生产数量，t=1，2，···，T；

dt：周期t产品的需求，t=1，2，···，T；

It：在t周期期末产品的库存数量，t=1，2，···，T；

St：碳排放限额约束下的周期t产品缺货数量，t=1，2，···，T;

pt：单位产品的生产成本；

ht：单位周期内单位产品的仓储持有成本；

σt：固定成本；

st：碳排放限额造成的单位缺货成本；

令：

在本文中暗含如下假设：

假设1：缺货过期不补，且缺货成本大于单位生产成本，即st＞pt。

以上假设界定了所研究问题的环境，假设也是符合现实的，假设1，如果当期缺货成本小于生产成本，则各期需求都不会被满足，因为企业不生产是最优的。假设2描述了此问题中成本变动是有条件的，并且涉及到了一种特殊情形（单位产品不变的缺货成本），也适用于小幅度范围内波动的单位缺货成本情形，在现实中，企业为降低库存持有成本，都尽可能满足当期的需求，而不是当期需求缺货而持有库存满足未来周期需求。

碳排放限额政策背景下的高碳排放企业包括多周期在内的生产计划问题将借助以下优化决策模型刻画。高碳排放企业的生产计划目标是在T周期内达到固定成本，生产成本，仓储持有成本和缺货成本之和最小，目标函数表示为：

约束条件：

约束条件（2）表示商品产出数量、缺货数量和需求之间的关系。为了满足一般性情况，本文将初始时期和结束时期的库存假设为0，也就是约束条件（3）。约束条件（4）表示生产数量，库存数量以及缺货数量的非负性。

依据上述问题的刻画，也可以利用图1所示的网络流问题再一次描述所研究问题。节点1，2，…，T代表各周期的需求，如t期的需求为dt，节点P代表利用生产使得各周期的需求得到供应，节点S代表通过缺货满足各周期的需求，有向弧(t，t+1)代表通过上一周期所剩余的库存满足下一个周期需求。参考费用与网络流，可以发现如下性质：

（1）有向弧(P，t)代表生产xt的费用流，假设xt=0，此费用流为0；假设xt＞0费用流为σt+ptxt。

（2）有向弧(t，t+1)代表库存费用流，假设It=0，此费用流为0；假设It＞0费用流为htIt。

（3）有向弧(S，t)代表缺货St的费用流，假设St=0，此费用流为0；假设St＞0费用流为stSt。

图1 缺货情况网络流问题

2 碳排放限额约束下的预测时阈分析

2.1 最优解性质

定理1：在T周期最优解，则每个连续的周期形成一个再生集。

假设在一个最优解中存在个连续的周期没有形成一个再生集，即周期t，t+1，..，t'库存都为正，又由上文可得，t期期初生产数量至多覆盖到周期t'-1，因此可得周期t，t+1，..，t'至少有一期库存为零，符合再生集的定义，因此每个连续的周期形成一个再生集。

定义2：在t周期生产的最小数量为的最小整数，t=1，2，..，T。

定理2：在T周期最优解中，有：

证明：

（1）类似Wagner和Whitin(1958)[9]，略。

（2）运用反证法，假设It·St＞0 ，由图1可得，此时的一单位产品的路径为从节点M到节点t+1，需要经过节点S和节点t，费用流为st+ht。如果变换一条路径，仅经过节点S，由有向弧(S，t+1)产生的费用流为st+1，比原路径费用要低，与假设矛盾，因此，在T周期最优解中，有It·St=0，t=1，2，..，T。

（3）运用反证法，假设xt·St＞0 ，若 0＜xt＜dt，因为pt＜st，所以增加一单位xt可以降低成本(st-pt)，若xt=dt且It＞0 ，则有It·St＞0 ，与定理 2矛盾，因此若xt=dt，有It=St=0 ，与原假设xt·St＞0 矛盾；若xt＞dt，此时It＞0 ，则有It·St＞0 ，与定理2矛盾，因此St=0，与原假设xt·St＞0矛盾。综上可得，在T周期最优解中，有It·St=0 ，t=1，2，..，T。

（4）在T周期的最优解中，假设即，变形为st·xt＜σt+pt·xt，此不等式意味着t周期生产xt数量的产品的成本大于缺xt数量的产品的成本，与假设矛盾，故

2.2 预测时阈分析

定理3：考虑P(t-n+1),P(t-n+2),…,P(t)问题如 果对 于j=1，2，…，τ（1≤τ≤t-n+1）成立，则t为预测时阈，τ为决策时阈。

证明：根据Ludin和Morton决策时阈和预测时阈理论[10]，如果再生集中的每一个子问题都有相同的周期决策，这个决策也是更长周期问题的最优决策。由定理1，每n个连续的周期形成一个再生集。当解P(t-n+1),P(tn+2),…,P(t)问题时，从t-n+1期到t期有n个周期，在更长时期的最优解中，这n期中至少有一期期末库存为0，因此这些生产序列至少有一个是更长周期t*(t≤t*)的最优解的一部分。如果对于i=1，2，…，τ成立，意味着每一个问题P(t-n+1),P(t-n+2),…,P(t)有相同的τ期最优生产子序列，因此这个τ期子序列被包含于任何更长周期t*(t≤t*)最优解的一部分，则τ为决策时阈，决策时阈需要t周期的信息，所以t为预测时阈。

2.3 前向算法

由于上述定理可发现，碳排放限额约束下高碳企业的动态批量预测时阈问题可以通过前向递归动态规划算法解决。

由定理2可得t-周期问题可以分解为一系列的子问题解决，令P(q，t)代表周期q到周期t，且满足Iq-1=It=0;Ij＞0,i=q，…，t-1;xq＞0 的子问题。C(q，t)表示P(q，t)的最优成本。

令F(t)代表P(t)问题的最优成本，则：

3 数值实验及讨论

本文通过构造数值试验来进一步理解碳排放限额约束下的企业动态生产决策预测时阈特征。通过函数Dt+1=D0(1.0)t来产生各周期的需求均值，当需求均值确定之后，各周期的实际需求通过函数Dt+1=D0(1.0)t+0.5D0ξ产生。其中ξ为标准正态变量，任何情况下，如果产品需求小于1则设定为1。基准需求设为D0=10。为了简化实验而且能满足本文的假设条件，图2参数设为st=6；pt=2 ；ht=1；σt取 60，70，80，90，100，150，200这 7个值。图3参数设为σt=60；pt=2；st=6；ht取0.5，1，1.5，2，3，5，70这7个值。图4参数设为σt=60；pt=2；ht=1；st取5，6，7，8，9，10，11这7个值。为了方便找到预测时阈中值，对每一组参数运行15次，每一组实验运行的次数为7×15=105。

图2 作为启动成本函数的预测时阈中值

图3 作为库存成本函数的预测时阈中值

图4 作为缺货成本函数的预测时阈中值

在碳排放限额背景下，由于每一期的碳排放配额存在不够用的情况，而且没有碳排放权交易市场进行碳排放配额的买卖，所以碳排放限额的约束改变了原来的及时交货方式而变为缺货方式。根据数值实验得出来的图2至图4，可以得到单一变量下预测时阈与企业生产过程的固定成本、仓储成本和缺货成本之间的相互关系。当高碳排放企业的固定启动成本和缺货成本增加了，预测时阈随之增加；而当该企业的仓储持有成本增加了，预测时域将降低。因为启动成本相比于库存持有成本较小时，启动的次数较多，每一次启动所覆盖的周期数较小，产生的再生点较多将会导致再生集比较小，因而预测时阈较小。而启动成本相比于库存持有成本很大时，每一次启动所覆盖的周期数较多，导致再生集较大，因而预测时阈较长。这也可以告诉企业，如果启动成本相比较库存持有成本小，则当高碳排放企业在做包括生产决策在内的运营管理中只需要将未来较短时间内的市场数据作为参考标准，反之则为了确定更为精确的动态批量需要考虑未来偏长时间的数据信息。由于碳排放配额有限导致的缺货情况下，缺货策略决策柔性较大，增加了每个周期决策的复杂性。如果产品的缺货成本较大导致再生集长度的增加，进一步增加了预测时阈的长度。因为从上述分析可以看出，碳排放限额政策增加了高碳企业的预测时阈，从而增加了企业的预测成本，高碳排放企业在碳排放限额政策背景下，为了获取更为精确的生产批量需要将偏长时间的周期的数据信息作为参考标准。

综上分析，碳排放限额政策约束下高碳排放企业在安排生产计划在内的运管管理中，需要考虑到未来费用等因素的影响，而缺货成本、固定成本、仓储持有成本和需求特性等多种因素的变动又将对获取和解析未来一段时间的数据信息进行影响，所以高碳排放企业为了获得精准而合理的决策结果必须将上述分析的各种因素纳入考虑范围内。

4 结论

本文借助数值仿真方法分析得到高碳排放企业的原有预测时阈将受到碳排放限额政策的冲击，首先这些企业需要改变决策前的预测时阈安排生产计划，再者国家相关政府部门实施碳排放政策也会从中借鉴，碳排放限额政策的实施进一步增加了生产计划安排的不确定性，也会对企业的决策费用带来一定冲击，所以国家出台的碳排放限额政策将增加高碳排放企业的预测时阈从而加大了其预测费用，也进一步加大了企业其他的生产管理费用，这一结论也为国家如何补贴低碳生产企业，补贴多少做了理论回答。预测时阈大导致高碳企业进行低碳生产、转型时所产生的预测成本大，因而政府进行低碳生产的补贴要高；反之预测时阈小，高碳企业进行低碳生产、转型所产生的预测成本也小，政府对这些企业的补贴也可相应减少。