李菁

[摘   要]在《祖暅原理及其应用》教学中，采用启发引导式教学法，通过构建环环相扣的问题体系，运用多媒体课件、微课、3D动画演示、模具展示、动手实验等教学手段，引导学生探究新知、突破难点、解决问题，让学生通过小组合作交流，在完成猜想、实验、观察、分析、总结等活动中培养数学素养.

[关键词]祖暅原理及其应用;问题体系;实验探究;小组合作

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2018）35-0003-05

一、教学实录

（一）引入课题

1.提出问题

教师（出示图1）：两个半径为a的圆柱正交（即两圆柱的轴垂直相交），公共部分是什么样的几何体？

（学生想象图形，思考问题）

教师：公共部分是圆柱吗？

学生：不是.

教师：是正方体吗？

学生：不是.

教师：是球吗？

学生：不是.

教师：它不是我们学习过的简单几何体，它就是我国数学家刘徽热衷于研究的“牟合方盖”.如何求这个“牟合方盖”的体积呢？

教师：我们学习了简单几何体的体积公式，这些公式是怎么得到的呢？这节课我们一起来探讨这些问题.

2.介绍数学家祖暅

教师：我国古代数学家祖暅将帮助我们解决这些问题.

[播放视频（如图2），介绍相关数学史，板书课题：祖暅原理及其应用]

教师：祖暅原理的提出比国外早了一千多年，非常了不起！同学们，你们知道祖暅与数学家祖冲之是什么关系吗？

学生：祖暅是祖冲之的儿子.

教师：很好！看来大家对数学知识的了解很多呀！

（二）课堂探究

1.初识原理

教师：通过预习，我们知道祖暅提出了“幂势既同，则积不容异”的观点.其中的关键词“幂”“势”“积”分别是什么意思？

学生：“幂”指面积，“势”指高，“积”指体积.

教师：这句话怎么解释呢？

学生：如果两个几何体的高和底面积相等，那么这两个几何体的体积相等.

教师：大家同意吗？

学生（发出质疑声 ，举出反例）：高和底面积都相等的圆柱和圆锥体积不相等.

教师：原理中是指满足怎样的条件，才能得出体积相等的结论呢？

学生：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.

教师：解释得非常好！

2.原理探究

教师：下面请第1小组的同学给我们举个特例，来说明祖暅原理.

学生（将完全相同的两摞本子分别摆成特殊的几何体——直棱柱和斜棱柱，且每摞本子数量相同，如图3）：因为每摞本子数量相同，所以这两个柱体的高相等.因为本子的大小完全相同，所以平行于底面的平面截得两柱体的截面积总相等，故这两个柱体的体积相等.

教師：很好！

教师（将两摞本子改摆成高相同，但形状任意的两个柱体）：根据祖暅原理，现在摆成的这两个任意柱体的体积相等吗？为什么？

学生：相等.因为这两个柱体的高相等，且被平行于底面的平面截得两柱体的截面积总相等，所以这两个柱体的体积相等.

教师：分析得很好！

教师（添加两摞完全相同的小本子，改摆成两个形状任意的新几何体）：根据祖暅原理，现在摆成的这两个任意几何体的体积相等吗？为什么？

学生：相等.因为这两个几何体的高相等.虽然每个几何体被平行于底面的平面截得的截面积会发生变化，但两个几何体被平行于底面的平面截得的截面积总相等，所以这两个柱体的体积相等.

教师：解释得很棒！

教师：把“两个几何体高相等”换成“两个几何体夹在平行的平面间”，结论成立吗？

学生：成立.

教师：祖暅原理又称等积原理，即夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.

教师：从由两个特殊棱柱举例，到由一般几何体进行解释说明，我们采用了怎样的数学研究方法？

学生：由特殊到一般.

【设计意图：先由学生用本子举出特例解释说明原理，再用本子举出任意几何体的实例，进一步解释说明原理，强调原理的条件，使学生体验“由特殊到一般”的研究方法.】

教师（准备三摞完全相同的本子，其中两摞本子并排放在一起作为一个几何体，第三摞本子单独作为一个几何体，改摆成两个任意形状的新几何体）：显然，现在摆成的这两个新的任意几何体的高相等，它们被平行于底面的平面截得的截面积相等吗？

学生：不相等.

教师：它们被平行于底面的平面截得的截面积是什么关系？

学生：2倍.

教师：这两个几何体的体积是什么关系？

学生：2倍.

教师：通过刚才的引申，我们得到了新结论：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得的两个截面的面积之比总为t，那么这两个几何体的体积之比为t.

（总结“类比推理”的研究方法）

【设计意图：对祖暅原理进行引申，使学生体验“类比推理”的研究方法.】

3.学以致用

教师：同学们对原理理解得很透彻.现在我们学以致用，运用祖暅原理解决下面的问题.首先，我们运用祖暅原理推导柱体的体积公式.我们已知长方体的体积等于底面积乘以高，根据原理，与长方体等底等高的柱体的体积等于什么？（出示图4）

学生：底面积乘以高.

教师：很好！（板书公式：V柱体=sh）将未知的几何体的体积转化为已知几何体的体积来求，体现了“化未知为已知”的转化思想.

教师：接下来，我们运用祖暅原理推导锥体的体积公式.请同学们思考问题1：底面积和高分别相等的两个锥体的体积相等吗？为什么？

生（上讲台结合图5讲解）：两个锥体的高相等，它们被平行于底面的截面所截得的截面图形的面积之比等于相似比的平方，也相等，所以它们的体积相等.

教师：讲解得很棒！请继续思考问题2：如图6，锥体的体积和与它等底等高的柱体的体积之比是多少？为什么？

（学生小组讨论交流）

教师：请第4组的同学结合他们自制的教具模型为大家讲解推导过程.

第4组学生代表（上讲台画出辅助线，用自制教具说明推导过程）：连接C1A、C1B、C1A1、A1B，把三棱柱分成三个棱锥.棱锥B-AC1C与棱锥B-AC1A1等底等高，体积相等.棱锥C1-A1AB与棱锥C1-A1B1B等底等高，体积也相等，所以三个棱锥的体积相等，每个棱锥的体积等于三棱柱的体积的三分之一.

（板书推导出的公式： [V锥=13V柱=13sh] ）

教师：第4组的同学不仅模具制作得好，讲解得也很好！我们将棱柱分割为棱锥来研究，运用了怎样的解题技巧？

学生：分割几何体.

教师：很好！我们将锥体的体积问题转化为柱体的体积来研究，蕴含了怎样的数学思想？

学生：等体积转化.

教师：非常好！

【设计意图：进一步运用祖暅原理，加深学生对祖暅原理的理解，使学生体会“化空间为平面”“等体积转化”的转化思想.】

教师：我们运用祖暅原理，通过巧妙的转化，推导了柱体和锥体的体积公式.球的体积公式也可以由祖暅原理推导，请大家课后探究.

4.拓展提升

教师：生活中，两个水管正交对接、机械加工中的零件中（如图7）都能见到“牟合方盖”.接下来，我们继续运用祖暅原理，揭开“牟合方盖”的体积之谜.

【设计意图：介绍生活中的“牟合方盖”，直观形象，让学生感受到“数学来源于生活，应用于生活”.】

教师：下面请各小组同学合作，动手切出“牟合方盖”，看一下它究竟是怎样的几何体？

（学生实验，教师巡视，给予适当指导）

教师（在学生用花泥现场切出“牟合方盖”后）：请第1组学生代表上台展示实验过程.

教师：正如之前同学们的判断，“牟合方盖”不是我们学过的简单几何体.那它与哪种简单几何体最接近？

学生：球.

教师：若要直接求出“牟合方盖”的体积，好不好求？

学生：不好求.

教师：我们可不可以运用祖暅原理，转化为简单几何体的体积来求呢？

教师：请同学们继续观察“牟合方盖”模型，并思考问题（1）：能否找到某种学过的简单几何体，使它与“牟合方盖”满足如下条件：①高度相等，且被平行的平面截得的截面圖形的面积总相等;②高度相等，且被平行的平面截得的截面图形的面积之比总相等？

学生思考猜想，小组讨论，得出结论：面积总相等的没有，面积之比总相等的可能是球.

教师：请继续思考问题（2）：若截得“牟合方盖”的圆柱半径为a，为了使“牟合方盖”与球的高相等，选取半径是多少的球最适合？

学生：半径为a的球.

[教师播放视频（如图8），对学生的猜想加以肯定]

【设计意图：通过3D动画演示，学生动手自制模具，进行实验观察.采用直观感知的学习方式，增强了学生的空间想象力.符合新课标中强调的“利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识简单组合体的结构特征.运用直观感知、操作确认等认识和探索空间图形的性质，建立空间观念”.】

继续引导学生实验观察并思考问题（3）：“牟合方盖”和球被平行的截面截得的两个截面图形分别是什么图形？

教师：球被平行的截面截得的截面图形是什么？

学生：圆.

教师：那么“牟合方盖”被平行的截面截得的截面图形是什么呢？（展示模型，引导学生研究不同截面图形）老师手中的“牟合方盖”是由哪两个方向的圆柱正交得到的？

学生：前后、左右两个方向.

教师：用竖直的平面切“牟合方盖”，把它分成前后完全相同的两部分，截面是什么图形？

学生（各小组按照提示切割“牟合方盖”，观察截面图形的形状）：截面图形是圆形.

教师：  这个圆的半径是多少？

学生：半径为a.

教师：将此截面前后平移，截面图形还是原图形吗？

学生（各小组按照提示切割“牟合方盖”，观察截面图形的形状是否改变）：截面图形改变了，不再是圆.

教师：用竖直的平面切“牟合方盖”，把它分成左右完全相同的两部分，截面a是什么图形？

学生（各小组按照提示切割“牟合方盖”，观察截面图形的形状）：截面图形是圆形.

教师：  这个圆的半径是多少？

学生：半径为a.

教师：将此截面左右平移，截面图形还是原图形吗？

学生（各小组按照提示切割“牟合方盖”，观察截面图形的形状是否改变）：截面图形改变了，不再是圆.

教师：用水平的平面切“牟合方盖”，把它分成上下完全相同的两部分，截面是什么图形？

学生（各小组按照提示切割“牟合方盖”，观察截面图形的形状）：截面图形是正方形.

教师：  这个正方形的边长是多少？

学生：边长是2a.

教师：将此截面上下平移，截面图形还是原图形吗？

学生（各小组按照提示切割“牟合方盖”，观察截面图形的形状是否改变）：截面图形仍然是正方形，但变小了.

教师：根据实验分析，用其他方向的平行平面截“牟合方盖”，截面图形会不会总是同一种图形？

学生：不会总是同一种图形.

[教师播放视频（如图9），验证学生的实验结果及猜想]

教师：通过实验观察及电脑动画演示，我们选用哪个方向的平行截面更便于研究？

学生：水平方向的平行截面.

教师：这样截得的两个截面图形的面积之比是多少？

教师：这个“牟合方盖”是由半径为a的圆柱正交得到的，而球的半径也是a，这个球是不是可以完全放在“牟合方盖”的内部？

学生：可以.

教师：根据刚才的实验，当水平平面将这个“牟合方盖”截成上下完全相同的两部分时，截面正方形的中心是否是球心？

学生：是.

教师：此时“牟合方盖”的截面正方形边长是多少？

学生：2a.

教师：此时球的截面圆的半径是多少？

学生：a.

教师：此时两个截面图形是什么关系？

学生：圆内切正方形.

教师：那么当截面上下平移时，两个截面图形是否仍为正方形和它的内切圆呢？请同学们分组讨论交流一下.

教师：欢迎第3组的同学利用他们自制的教具来为我们演示说明.

第3组学生代表：正交得到“牟合方盖”的圆柱的半径是a，球的半径也是a，所以球在“牟合方盖”的内部.球面与“牟合方盖”表面的公共点在这两个大圆上（学生用手指着公共点位置），就是刚才实验中的两个截面圆.（学生在黑板图中画出公共点轨迹）当水平截面上下平移时截得的截面圆与截面正方形总有4个公共点，分别在正方形四条边的中点，所以圆与正方形总相切.（学生在黑板图中标出切点位置）

[教师播放视频（如图10），验证学生的演示说明]

教师：非常感谢第3小组的同学，他们的演示讲解得十分形象直观！

教师：通过观察分析，我们了解了截面图形间的关系.那么这两个截面图形的面积之比是多少呢？

学生：  [S牟合方盖的截面图形S内切球的截面图形=S正方形S内切圆=（2a）2πa2=4π] .

教师：这个“牟合方盖”与球的高相等，根据祖暅原理，它们的体积之比是多少？请同学们在学案上补充完整求解过程，并求出这个“牟合方盖”的体积.

学生：[V牟合方盖V球=4π] ，[∴V牟合方盖=4πV球=4π×43πa3] =[163a3] .

教师：同学们的计算结果相同吗？

学生：相同.

教師：非常好！我们借助球的体积进行转化，化难为易，求出了这个“牟合方盖”的体积.

教师：我们借助构造内切球，运用祖暅原理，根据内切球的体积计算得到“牟合方盖”的体积，体现了“转化”的数学思想.遵循了“猜想—实验—观察—分析—总结”的解题思维流程.

（引导学生回顾解题思想方法和思维流程）

5.归纳总结（略）

6.课后巩固（略）

二、教学感悟

本节课是在学生接触立体几何学习不久，空间想象能力还有待提高的学情下开设的一节高一新授课，采用了师生互动的开放式教学模式，教师充分利用课堂这个主阵地，把“祖暅原理及其应用”这一数学知识产生的背景、形成的过程和方法一一呈现，与学生一起重温这段“历程”，让学生亲历了知识的动态生成过程，亲自动手发现鲜活的数学知识，让学生学会思考问题、解决问题，体现了新课程标准“学科知识与学科活动是学科核心素养形成的两翼，学科知识是学科核心素养形成的主要载体，学科活动是学科核心素养形成的主要路径”的理念.

本节课先提出问题引入课题，后遵循学生认知规律，依次设置了“初识原理—原理探究—学以致用—拓展提升—归纳总结—课后巩固”6个环节.“原理探究”环节通过举例的变化，体现了“由特殊到一般”“类比推理”的研究方法.“学以致用”中推导柱体的体积公式，体现了“化未知为已知”的转化思想.推导锥体的体积公式运用了分割几何体的解题技巧，且也体现了等体积转化思想.“拓展提升”求“牟合方盖”的体积.这个难题的攻克，增强学生学习数学的自信心.运用3D动画演示、模具演示、动手实验相结合，通过问题逐层递进启发，由“猜想—实验—观察—分析—总结”，引导学生突破难点，解决问题.其中运用了构造内切球的解题技巧，且体现了“化难为易”“空间问题平面化”的转化思想，整节课处处体现了转化的数学思想.

为了把这节课打造成使学生充满兴趣的高效课堂，我主要从以下几个方面进行设计.

第一，创设“疑”境，激发学生的探知欲望.本堂课一开始根据学生已有的知识经验，立足学生的认知起点，首先解读了祖暅原理，然后设疑：如何求“牟合方盖”的体积？从而激起了学生的学习热情和探究的欲望.这样的设计，符合学生的年龄特点和认知规律，充分调动了学生学习的主观能动性.

第二，结合新课标的要求，基于高一学生的已有知识水平，及学生个体的空间认知能力不同等差异，采用了3D动画演示、模具展示、动手实验相结合的教学方式，使问题的研究更直观形象，很好地培养了学生的空间想象能力.

第三，通过构建环环相扣的问题体系，逐层递进启发，化难为易，既引导着学生深入探究，又同时解决了研究中不断出现的新问题.

第四，让学生在“动”中学，在合作交流中提高，发挥主体作用.本节课，学生通过动手制作几何模具，并通过小组合作交流的形式完成教师交给的展示任务，充分体现了学生在学习过程中的主体地位，不但给学生提供了一个自主探索的空间，同时也培养了学生的合作意识和自主探索能力.

第五，通过数学几何模具的割补及多媒体的动态展示将“祖暅原理及其应用”这一教学难点加以突破，使学生掌握了割补几何体以及构造内切、外接几何体的解题技巧，增强了学生的空间想象能力.

第六，在“学以致用”环节让学生运用祖暅原理推导柱体体积公式的过程中，让学生学会了由“特殊”到“一般”的数学研究方法.在“拓展提升”环节，让学生由几何体的体积相等的条件，进而去探究体积成比例的条件，不仅为后面求“牟合方盖”的体积提供了理论依据，做好知识上的铺垫，而且在此过程中让学生学会了类比的数学研究方法.

第七，由祖暅原理推导柱体、锥体的体积公式，进而解决“牟合方盖”体积的过程中，教师一直力求有效地引导学生化“未知”为“已知”，化“难”为“易”，化“空间”为“平面”，充分体现了转化的数学思想方法.

整堂课，遵循“以学生为主体，教师为主导”的原则，充分调动了学生的学习积极性，倡导学生“自主探索、动手实践、合作交流”的数学学习方式，体现了教师的设计者、组织者和帮助者的地位，突出学生的主体地位.在教学中，既重视知识和技能的形成过程，又重视对学生学习方法的指导、探究能力的训练和创新精神的培养，引导学生发现数学的奥妙，体验求知的乐趣，并且通过学生之间的合作交流，激发了学生的学习激情.整个课堂气氛热烈，教学效果比较好.

（责任编辑 黄桂坚）