贾 锴， 俞锦涛

(陆军炮兵防空兵学院 基础部数学教研室，安徽 合肥 230031)

1 预备知识

设X为一非负连续型随机变量，其概率密度函数为f，为了度量X中所包含的不确定性，文献[1]定义X的香农熵(Entropy)如下：

最近，文献[2]定义了一个新的不确定性的度量，并称之为Extropy。对于非负连续型随机变量X，定义其Extropy如下：

J(X)和H(X)互为补对偶，更多关于Extropy与香农熵的相关性质可参阅文献[2,3]。

若X表示一个新元件的寿命，该元件t时刻仍正常工作，它能继续工作的寿命称为其在t时刻的剩余寿命，记为Xt，由定义知Xt=(X-t|X>t)。因元件已经工作到t时刻，再考察X中所包含的不确定性已不适合。文献[4]指出不确定性应该是时间t的函数，并建议改为度量Xt中包含的不确定性。基于这个思想，文献[5]将X在t时刻的剩余Extropy定义如下：

(1)

非负连续型随机变量X的概率分布还可以用分位函数表示，分位函数的定义为：

F-1(p)=inf {x|F(x)≥p},p∈(0,1)。

分布函数与分位函数在某种意义下是等价的，文献[6,7]分别介绍了基于分位函数的概率模型及其在可靠性理论中的应用。文献[8]首次将分位函数引入不确定性的度量，类比其过程，令式(1)中的t=F-1(p)，得到X的剩余分位Extropy如下：

其中第二个等号利用变量代换u=F(x)得到。QJp(X)从Extropy的角度度量了X在已经工作了100p%的寿命后所剩余的不确定性，是一种基于分位函数的不确定性的度量。为了比较两个随机变量所包含的不确定性的大小，借助剩余分位Extropy提出一个新的随机序，称之为剩余分位Extropy(LQEx)序。

定义1.1称X依LQEx序小于Y，如果QJp(X)QJp(Y)对于所有的p∈(0,1)都成立，记为XLQExY。

下面的引理1.2给出LQEx序的一个等价判别，其证明可由剩余分位Extropy的定义直接得到，故省略。该……