王文倩， 周文学， 孙 芮

(兰州交通大学 数理学院,兰州 730070)

分数阶微积分在数学上已有很长的发展历史，现如今已在诸多领域得到了广泛应用。[1-6]近年来，对带p-Laplacian算子的整数阶微分方程的研究取得了很大进展，但整数阶微分方程在实际应用上具有一定的局限性，为了解决现实中越来越多的复杂的现象和问题，许多专家和学者开始逐渐深入学习和研究带p-Laplacian算子的分数阶微分方程。[7-12]

2010年，王金华和向红军在文献[13]中用上下解方法证明了边值问题

正解的存在性。其中1<α,γ<2,0

2014年，Ertao Zhi 和Xiping Liu在文献[14]中研究了边值问题

正解的存在性，其中0<ξ1ξ2<1,2<α<3,1<β<α-1<2,0<λ1,λ2<1。

2016年，孔德琼，马德香在文献[15]中讨论了边值问题

正解的存在性,其中λ>0,f:(0,)→(0,+)连续，2<α3,1<β2,α,β为实数。

受到上述文献的启发，文章主要利用Guo-Krasnoselskii不动点定理研究边值问题

(1)

正解的存在性，其中，1<α2,2<β3,α,β是实数，0<ξ,η<1,λ>0,f:(0,)→(0,+)是连续的。

1 预备知识

引理1.1[7]假设α>0,若u∈C[0,1]∩L[0,1]有α阶Riemann-Liouville导数，则

其中N为大于或等于α的最小整数。

引理1.2[16]令h∈C[0,1],则边值问题：

(2)

存在唯一的解u∈C2[0,1],u(t)可表示为

其中

引理1.3令y:[0,1]→R连续，那么边值问题：

(3)

存在唯一解，其中2<β3,β是实数，

其中

证明：由引理1.1可知

由(3)中边界条件可知

因此

引理1.4令h:[0,1]→R连续，那么边值问题：

(4)

存在唯一解，其中3<α4,α是实数，

其中

证明：由题意可得

由(4)中边界条件可知

因此

引理1.5令f∈C[0,1],考虑下面边值问题：

(5)

证明：由引理1.2，引理1.3和引理1.4可得边值问题的解为

引理1.6[15]当3<α4,2<β3时，函数G(t,s),H(t,τ)的性质为：

(1)对任意的τ,s,t∈[0,1],有G(t,s)≥0,H(t,τ)≥0;

引理1.7[16]假若0<η<1,0<ξ<1,h∈C[0,1],则K(t,μ)在[0,1]×[0,1]上连续且有以下的性质：

(1)K(t,μ)>0,(t,μ)∈[0,1]×[0,1];

(2)K(1,μ)K(t,μ)K(μ,μ),(t,μ)∈[0,1]×[0,1];

引理1.8[11,15]φ:R→R为非减奇函数，ψ1,ψ2为非减同胚映射满足：

(1)当x,y>0时，存在ψ1(x)φ(y)φ(xy)ψ2(x)φ(y);

(2)在(1)成立的条件下，∀x,y∈(0,)时有，φ-1(xφ(y))

引理1.9算子T:P→P为全连续算子。

可得，Tλu(t)(P)⊂P，也即Tλu(t):P→P为全连续算子。

2 主要成果

为了论述方便，给出以下记号：

定理2.1当F=+,f0=0时，存在，若满足条件