杨仲江 ，王梧熠 ，于忠江

（1.南京信息工程大学中国气象局气溶胶-云-降水重点开放实验室，南京210044；2.南京信息工程大学大气物理学院，南京210044）

0 引言

由于雷电流模型对雷电防护具有重要意义，国内外已有很多学者展开了关于单脉冲雷电流模型的研究。通过雷电流模型可以得到建筑物防雷所关心的雷电流幅值、波头时间和波尾时间等参量，是建筑物雷电过电压保护，自然闪电电磁脉冲保护以及雷电电磁场计算的依据。此外，在电力系统中广泛采用的金属氧化物避雷器（MOA）也是采用10/350 μs或8/20 μs的单脉冲进行冲击试验，但实验室所采用的单脉冲波形无论是从能量上还是持续时间上都和自然界中的多脉冲相差甚远，并不能真实模拟自然闪电。

笔者首先分析自然闪电的雷电流特征，按照IEC给出的关于多脉冲的建议标准，得到不同幅值等间隔的五个8/20μs单脉冲标准波形。其次在HEIDLER模型的理论基础之上提出一种能表征自然闪电特征的多脉冲模型。之后在根据每个单脉冲的特征量，将五脉冲总的电荷量求出，最后根据等电荷量并运用图解法和数值计算的方法解得等效模型的参数。

1 多脉冲模型的提出

目前8/20μs波形作为模拟雷电流的标准波形已经被实验室雷电流冲击平台广泛采用，考虑到首末脉冲幅值相对于中间脉冲幅值较大，笔者将首末脉冲幅值设定为20 kA，中间幅值设定为10 kA。参照IEC62305-1中对多脉冲时间间隔的设定，笔者的脉冲时间间隔为50 ms，即多脉冲波形为5个8/20 μs波形的等效，首末峰值电流为20 kA，中间3个波形峰值为10 kA。由于每个脉冲的间隔时间为50 ms，一个完整的多脉冲闪电放电过程也只有200 ms左右（见图1），热量来不及消散，所以可以将此过程看作是绝热过程。这样，可以忽略每个脉冲的间隔时间只需考虑每个8/20 μs波形的作用时间，等效后的多脉冲雷电流波形时间为139*5=695 μs，见图2。图3的五脉冲半波波形和图4的单脉冲完整波形则清晰的显示了每个脉冲的波头和波动变化。

图1 间隔为50 ms的五脉冲完整波形Fig.1 The complete waveform of the 5 pulses with the interval at 50 ms

从工程应用的角度来看，多脉冲雷电流模型的参数计算应当简单、快速。计算模型参数需要分析自然闪电中雷电流的特征。多脉冲等效模型的四个主要雷电流特征量[1-3]：多脉冲雷电流峰值Imax，雷电流最大陡度（di/dt）max，上升到峰值的时间tp，转移电荷量Q。

图2 等效能量的五脉冲全波波形Fig.2 The energy equivalent waveform of 5 complete pulses

图3 等效能量的五脉冲半波波形Fig.3 The energy equivalent waveform of 5half pulses

图4 幅值为20 kA和10 kA的完整单脉冲波形Fig.4 The complete single pulse waveform of 10 kA and 20 kA

本文对多脉冲模型的建立借鉴了Bruce和Gol⁃de提出的单脉冲下雷电流的双指数函数表达式[1]，单脉冲下雷电流的双指数函数表达式已经得到了国内外学者的普遍认可。

由文献[4]中

将峰值时间tp和半峰值时间th分别代入（1）中，

联立式（2）、（3）、（4），可确定th和tp。也就是说只要给定雷电流幅值I0，波头衰减系数α和波尾衰减系数β就可以确定雷电流的波形。虽然单次脉冲自然闪电波形近似于指数函数[1]，但是Bruce提出的双指数模型在t=0时刻无法对雷电流求导，而建立多脉冲雷电流模型的四个条件之一，即求解雷电流最大陡度（di/dt）max又要求必须能对每一时刻的雷电流求导，所以多脉冲函数表达式不能像双指数模型一样只有指数形式。为了避免雷电流一阶导数在起始位置的不连续性，很多学者不断改进Bruce提出的模型，如Jones[5]提出如下修正函数：

Raicic[7]给出了雷电流一阶导数连续的形式

式（5）至（7）中的函数表达式由于雷电流的参数计算复杂并且特征量不尽相同，使得其在工程应用中并不广泛。笔者的多脉冲模型建立在前人的单脉冲模型基础之上，综合考虑了多脉冲雷电流的特征量、参数计算的复杂度以及在工程应用中的可行性。根据电荷量相等得到等效的多脉冲模型，建模过程应用了Heilder模型方法[1]。多脉冲雷电流函数（见公式8）分成三个部分：x（t）代表电流上升时间函数，表达式是幂函数形式；y（t）代表电流的延迟时间函数，表达式是指数函数；z（t）代表等效多脉冲雷电流的振荡函数，表达式是三角函数形式。

公式（10）即是本文多脉冲等效模型的完整表达式。假设tmax为雷电流达到峰值的时间，为保证i（tmax）=I0，需要增加雷电流峰值修正因子η。这样，通过确定参数I0，τ1，τ2，n，T便可以得到多脉冲雷电流模型。参数的计算方法在后面介绍。

1.1 雷电流峰值修正因子η

一阶雷电流表达式：

令di（tmax）/dt=0，化简可以得到峰值电流时间tmax：

在化简等式di（t）/dt=0的过程中用到了近似处理，即当t=τp时认为（ks）n＞＞1，Heidler等人在文献[1-7]中给出了说明。将（12）式中的τp代入到公式i（tmax）=I0中得到修正因子：

图5 不同陡度系数n对应的修正因子关于τ2/τ1的曲线图Fig.5 Curve correction factor of different steepness coefficient n corresponding to about τ2/τ1

1.2 雷电流最大陡度（di/dt）max的计算

确定多脉冲雷电流模型的最大陡度（di/dt）max理论上只需求出雷电流二阶导数等于零的时间t1，即：

实际计算量却非常庞大：由于雷电流陡度最大值存在于电流的上升阶段，所以不必考虑雷电流公式（8）中决定波尾延迟时间的指数函数部分，即认为y（t）≈1。重新计算（13）得到雷电流陡度最大值处的时间：t1=τ1f1，其中t1代入（di/dt）max中得到：

即

另外，将t1代入公式（8）中可以得到t1处的雷电流，即

图6 f1，f2，f3关于陡度n的曲线图Fig.6 The formula of f1，f2，f3corresponding tosteepnesscoefficient n

1.3 转移电荷量的计算

对图2雷电流进行积分可以求得等效五脉冲全波电流的总电荷量Q，见公式（18）。

式中，t1=0，t2=139 μs，α=8.66×10-4，β=1.732×105。

在MATLAB中输入如下积分公式，可快速求得总电荷量Q。

2 多脉冲雷电模型表达式参数的确定

使用图解法得到多脉冲雷电模型表达式参数，为方便计算，定义三个无量纲的因变量。见式（19）：

这样可以独立的求解参数。

[8-14]，给定多脉冲雷电流峰值Imax，多脉冲雷电流最大陡度（di/dt）max，上升到峰值的时间τp，转移电荷量Q，见表1。

将表1中的特征量代入到（19）式中得到Y1和Y2分别为Y1=7.5；Y3=32.33；由图7可知，当Y1=7.5时，τ2/τ1≈78，n=21。对应图5可知，η≈0.97。所得到的参数还可以通过图8进行验证。将参数τ2/τ1和n带入到峰值时间公式（12）中，解得τ2=13.65，又因为τ2/τ1≈78，所以τ1=0.175。通过图解法得到多脉冲雷电模型表达式参数见表2。

图7 不同陡度系数n对应的Y1关于τ2/τ1的曲线图Fig.7 Curve different steepness coefficient n corresponding to Y1about τ2/τ1

图8 不同陡度系数n对应的Y3关于τ2/τ1的曲线图Fig.8 Different steepness factor n corresponding to Y3on the curve of τ2/τ1

表1 多脉冲雷电流特征量Table 1 Multiple pulse lightning current characteristic

表2 计算得到的多脉冲雷电流模型参数Table 2 The parameters of multi-pulse lightning current model are calculated

将表2中的参数代入到公式（10）中，最终得到图9所示多脉冲等效波形。

图9 多脉冲等效波形Fig.9 Multi-pulse equivalent waveform

3 结语

给出了等效多脉冲雷电流模型，以及求解此模型参数的方法。可以建立适用于不同行业、不同应用方向的多脉冲雷电流源。不仅可以按照IEC建议采用五脉冲波形等效，也可以根据不同的研究需求建立其他的多脉冲模型，并参照本文的提供的方法确定参数。

参考文献：

[1] HEIDLER F，CVETIC J M，STANIC B V.Calculation of lightning current parameter[J]．IEEE Transactions on Power Delivery，1999，14（2）:399-404．

[2]王炜菲，仇一凡，冯世涛，赵晨惠，蔡宏飞，王勇.雷电流特性及其波形分析[J].黑龙江电力，2010，32（6）：404-407.WANG Weifei，QIU Yifan，FENG Shitao，ZhAO Chen⁃hui，CAI Hongfei，WANG Yong.The lightning current characteristics and waveform analysis[J].Heilongjiang electric power，2010，32（6）:404-407.

[3]METWALLY I A，HEIDLER F H，ZISCHANK W[J].Mag⁃netic fields and loop voltages inside reduced-and fullscale structures produced by directlightning strikes[J].IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility，2006，48（2）:414-426.

[4] 孙建虎，刘颖芳，尹平.雷电流数学模型分析[J].后勤工程学院学报，2012，28（2）:86-91.SUN Jianhu，LIU Yingfang，YINPing.Mathematical mod⁃el of lightning current analysis[J].Journal of Logistic Engi⁃neering College，2012，28（2）:86-91.

[5] JONES RD.On the use of tailored return-stroke current⁃representation to simplify the analysis of lightning effect onsystems，IEEE Trans.on EMC，1977.

[6]GARDNER RL，BAKER L，BAUM CE，ANDERSH DJ.Compansonof lightning with public domain HEMP wave⁃forms on the surfaceof an aircraft[C].6"'EMC Symposium，Zurich，1985.

[7] LIU Xin，LIU Deming，QIN Zheng.The lightning current measurement based on wavelet transform[J].Modern Ap⁃plied Science，2010，4（4）:19－25．

[8]DIENDORFER G，UMAN MA.An improved return stroke model with specified channel-base current，[J].Geophys.Res，1990，95（13）：621-13，644.

[9]THOTTAPPILLIL R，UMAN MA，Lightning return stroke model with height-variable discharge time constant，[J].Geophys.Res.，1994，99（l1）：22，773-22，780.

[10]BERGER K，ANDERSON RB，KRONINGER H.Parame⁃ters of lightning flashes，Electra，1975（41）：23-37.

[11]ANDERSON RB，ERIKSON AJ.Lightning parameters for engineering application[J]，Electra，1980（69）：65-101.

[12]陈娜娜.雷电流数学模型的对比分析[J].电气开关，2010，48（3）:82-84．CHEN Nana.Contrast and analysis of the mathematical model of lightning currents[J].Electric Switchgear，2010，48（3）:82-84．

[13]王勇，赵锦成，解璞.基于PSCAD/EMTDC的雷电流仿真模型研究[J].移动电源与车辆，2008（3）:24-26．WANG Yong，ZHAO Jincheng，XIE Pu．Study of simula⁃tion model of lightning current based on PSCAD/EMTDC[J].Movable Power Station&Vehicle，2008（3）:24-26．

[14]石光其，方厚辉.雷电电流数学模型的仿真分析[J].湖南工程学院学报，2004，14（2）:19-21．SHI Guangqi，FANG Houhui．Simulation and analysis of lightning current mathematic models[J].Journal of Hunan Institute of Engineering，2004，14（2）:19-21．