田秀权

平面向量作为代数和几何的纽带，素有“和平面几何联姻，与代数牵手，与解析几何交汇”之美称，在近几年高考试题中，平面向量题已然成为命题的重点和热点，在客观题中大多出现在压轴题位置，向量题的特点是：知识交汇自然，解法灵活多样；但万变不离其宗，紧扣“数”和“形”的本质属性，思考和解决问题，本文以近两年高考试题为例，分析、提炼平面向量的四大处理策略，以指明解题方向，优化解题过程，提高解题效率，并反思教学.

1代数化策略

1.1坐标运算策略

所谓坐标运算策略，是指解决平面向量问题时，把有关已知条件和所求结论，在直角坐标系中恰当地表示出来，这样就将向量运算完全代数化，可將几何问题转化为学生熟悉的有明确关系的数量运算，从而减少问题的思维量，降低问题的难度，

例1 （2017年高考全国卷Ⅱ.理12）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P是平面ABC内一点，则PA·（PB+PC）的最小值是（

）

A.-2

B.-3/2 C.-4/3 D.-l

解以BC为x轴，BC的垂直平分线AD为y轴，D为坐标原点建立直角坐标系（如图1），

则B（-l，0），c（1，0），A（O，√3）.

设P（x，y），所以PA：（-x，√3-y），

PB=（-1-x，-y），PC=（1-x，-y），

评注本题作为选择题的压轴题，对学生的能力要求比较高，如果方法选择不恰当，处理起来较为困难，考虑到图形的对称性，利用坐标运算策略，具体明确地表示出各个向量，从而问题得以快速解决，也使我们体会到了坐标运算策略的筒捷和明快.

1.2数量积运算策略

所谓数量积运算策略，是指解决平面向量问题时，把题目中的向量等式主动施加恰当的数量积运算，这样把向量运算完全代数化，这是处理棘手向量等式问题的重要思路，数量积运算策略体现了构造思想、转化和化归数学思想.

评注这是一道中等偏上难度的题，考查了两角和差公式、向量数量积两个C级考点知识的交汇，彰显了重点知识重点考查的命题理念，利用数量积运算策略，把问题完全代数化，构造了关于目标参数的方程组，思路清晰明了.

2几何化策略

2.1线性运算策略

所谓线性运算策略，是指解决平面向量问题时，利用平面向量的加减运算、数乘运算以及平面向量基本定理来解决问题，求解时通常选择两个信息量（模、角、位置关系）大、关联性强的不共线的向量作为基底，然后把其他向量用基底表示出来.

2.2图形运算策略

所谓图形运算策略，是指解决平面向量问题时，作出题目中所涉对象的几何图形，借助图形思考问题（往往结合平面几何知识、几何意义等等），借助图形解决问题，图形运算策略体现了数形结合的数学思想，是平面向量的一个本质特性.

评注这两道题都是客观题的压轴题，都属于难题，解法并不唯一（比如建系，但运算量相对更大）.如果利用好图形运算策略，让问题更形象直观、解法更简洁明了，思维更活跃灵动，图形运算策略体现了几何直观的数学核心素养.

3教学启示

3.1本质探究是根本

数学问题解决的过程，是从已知向未知寻求联系的过程，并努力去寻找条件和结论之间的数学本质，作为位置偏后的填空题，往往涉及的知识点是多元的、交汇的，研究对象的关系是错综复杂的，如何能让学生有序思维，理清基础知识，精准的找到问题的切入口？这就要求我们平时的教学要注重知识的生成、发展过程，重视对知识本质属性及问题本质的探究，比如：平面向量的概念是什么？有怎样的本质属性？了解了这样的问题，解题的思路就会更加自然流畅；正所谓“问渠那得清如许，为有源头活水来”，数学问题本质的挖掘正是解题思路的“源头活水”.

3.2方法提炼要精细

平时的解题教学应追求通性通法，比如多元问题需消元、高次问题要降次，常用带入、换元、待定系数等方法，学习、应试是个不断积累的过程，有必要积累一些处理问题的基本方法，然而方法的提炼仅仅停留在浅层次的“方法名称的记忆”肯定是不行的，方法的提炼应该要更加精细化，让学生经历思考、分析、对比、选择的思维过程，提炼出方法及方法的适用性，譬如：本文中总结的解决平面向量题的四大解题策略，怎样的题型特点适合用坐标运算策略？怎样的题型特点适合用线性运算策略？这四种策略是否有一定的关联性？

3.3能力训练重反思

“选拔性”是高考试卷的重要指标之一，这也决定了以能力立意的命题理念，学生的解题能力哪里来？怎么来？教师的讲解和学生的解题训练固然重要，但能力的形成和提升更离不开学生的自我感悟和自我反思，荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔就曾指出：“反思是数学思维活动的核心和动力”，教师经常有着这样的困惑或抱怨：“这样的题讲过好几遍了，稍微改变一下，学生怎么又不会啦？”问题的关键就在于学生“悟得少”，其实，学生解题能力的提高是在学习过程中通过不断地分析问题、转化问题，通过不断地听懂、反思、对比、感悟、内化、迁移和运用达成的.endprint