陈 思 李岩松

(1清华大学机械学院汽车工程系，北京 100084； 2清华大学物理系，北京 100084)

“链条(软绳)下落”的习题经常出现在一些高中和大学的物理题目中，用来考察学生对于动量守恒和功能原理的理解和应用。有很多专家和学生对这类习题进行了深入的讨论和分析[1-4]。文献[5]就链条中科学问题介绍了国内外进展，而文献[6]则从教学角度对这一话题进行了梳理。为了能够在有限的时间之内，得到这类问题的答案(这样教师“教”和学生“学”都显得有“信心”)，自然要对问题进行简化和理想化。链条被简化成“细”“软绳”和“质量均匀分布”，对限制绳的接触面简化成“光滑”。这些简化在解题中是被默认了。另外一个非常关键的默认简化是绳子始终与光滑接触面接触。这个简化则有待深入分析。

图1 链条下滑示意图

本文以图1所示的链条沿圆弧形桌边下落模型论证了链条会飞离桌边的依据，确定了飞离点位置，最后对相关文献中的有关飞离问题进行了讨论。

1 飞离分析

1.1 速度

图1中，柔软细链条的质量均匀分布；长度为l;线密度为λ;桌边的圆弧半径为R。接触面光滑。假设链条一端从桌边圆弧的起始位置被触发下滑,初始速度为零。

不失一般性，先假定初始阶段链条与圆弧段贴合，一直运动到图1所示的2θ角位置。整个链条沿桌面绷紧运动，故各点速率v相同，因此链条动能Ek为

图1中的链条圆弧段的重心位于C处，由理论力学得知

因此，圆弧段质心下降高度为

根据机械能守恒，有

即

(1)

1.2 支持力

链条内部有张力T，此张力沿链条的切线方向，但是会随链条内断面位置的变化而变化。用s表示链条断面的位置，则链条内部张力的矢量形式为T=T(s)τ，其中τ为切向单位矢量。在数学上T=T(s)τ就如同弧坐标中的速度=v(s)τ。类似于从弧坐标的速度到加速度，我们分析dT/ds，有

即

(2)

其中，n为链条的法向单位矢量；ρ为链条的曲率半径。

显然柔软链条与柔弱细绳没有本质差异。为了便于画图显示，把链条画成横断面沿链条完全不变的柔软细绳。考察细绳在桌角圆弧段上的一个微元段ds，见图2。由式(2)有

(3)

图2 柔软细绳下滑示意

沿法向对微元运用牛顿第二定律，有

(4)

即

(5)

式(4)对桌子水平面也是成立的，只不过ρ=∞。此时还有β=0，因此dN=λgds，它不会小于零。这表明链条始终与桌子水平面有压力，因而水平段不可能跳起来。

链条不能抗压，所以张力T总是大于零的；它在链条两端等于零，因为是自由的边界。如果链条足够长，在水平段有足够的长度，那么从β=0到β=θ，圆弧段的张力必然单调减小，即式(5)第二项是单调减，第一项对β也是单调减的，而第三项不随β变化。综上，dN最小应发生于β=2θ，此处又有T=0，故在链条的下落末端有

1.3 飞离

末端飞离的临界条件为dN=0

即

(6)

引入γ=π/4-θ，式(6)可写为

(7)

对R/l很小的情形，γ必然很小，此时就有sinγ≈γ;cos2γ≈1，从式(7)可近似解得γ≈πR/l，即下落端到：

2θ=2(π/4-γ)≈π/2-2πR/l

(8)

链条末端就会飞离。

图 3

对R/l不是很小的情形，式(5)要用数值法求解。利用Matlab的fminsearch求出的结果如图3所示。

图3和式(8)表明，只有当R/l→0时，才可能2θ=π/2(=90°)，即链条末端在脱离桌面时垂直下落。只要R/l非零，则链条末端并不会一直沿圆弧段滑动到垂直才下落，而是在未到垂直之前就会飞离。

R/l=0的情形物理上不可实现，在数学考察R/l→0，那么式(5)中第三项将趋近于负无穷(ρ=R),更无法保证dN≥0，也就是更不可能保证绳与桌角贴合。

综上所述，图1所示的问题中：链条脱离桌面后不可能保持垂直；下落的端点在达到垂直之前就应该飞离。

图 4(a) 模型; (b) 最后一环分析

2 讨论

(1) 文献[1]中例2的链条已经悬垂于桌面下，从静止再释放。这也不能保证链条与桌角的贴合。论证如下。

式(5)也适用于链条末端已垂于桌面之下。对桌角半径R/l→0的情形，第三项必然是趋于负无穷，无法保证贴合条件dN≥0。

对R/l有限的情形，采用反证法，即先假定链条与桌角一直贴合。我们来分析链条最后一环，它在离开桌面之前的受力分析如图4(b)所示，其中链条张力按照式(3)分解了。由于处于链条末端，所以进一步有T=0，这样沿水平方向就有

-dN=λdsg×an=λdsg×v2/R>0

即dN<0。这表明假设错误。真实情形应该是在脱离之前，某段链条会飞离桌面。

(2)文献[2]分析了图5所示的软绳沿桌面小孔下落的问题。该文作者分别采用了动量定理和动能定理两种方法，发现二者结果不一致。实际上软绳自小孔边缘下落，与图1的模型类似，软绳会飞离小孔的倒角圆弧。如果小孔很小，那么飞离的软绳必然与小孔的内壁碰撞，因而落下段不能保持直线。如果小孔小到在孔内段，绳子近似保持直线，那么绳子到小孔的下方也不能保持直线。因此，文献[2]计算落下段的动能和动量的方式值得深入分析。

图5

(3) 文[6]讨论了链条在滑轮上下落的问题，研究了链条从滑轮上飞离的条件，但是由于微元段没有考虑重力，所以飞离条件应按式(5)重新分析。

如果张力在图1弧形段的大小可以近似相等(在1.2节的分析中没有承认它近似相等)，那么随弧上位置变化的是β。当β=90°时，式(5)右边最小，它对应最容易飞离的位置(而不是文献[6]中的β=0)。在此位置，飞离条件为

T=λv2/R

如果T沿弧形段的大小变化很明显，则确定飞离位置和飞离条件还是很麻烦的。

3 结语

从上文分析我们可以看出，对于“链条桌边下落模型”的分析是较为复杂的，很难在没有计算机辅助的情况下进行求解、分析。为了出题方便而简化的条件不仅不会帮助学生掌握知识，还会错误地引导学生。因此高中和大学的考试中，应当

避免利用该模型对“动量守恒”“功能原理”知识点进行考察。本文对于“飞离”这一过程的讨论还不全面，应当继续求解飞离的水平方向速度，可以尝试通过对“链条受力”的积分计算，求链条水平方向受到桌子的作用力，进而利用“水平方向动量定理”求出飞离的速度。

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