韩如意， 王川龙

(1. 太原理工大学 数学学院， 山西 太原 030024； 2. 太原师范学院 数学系， 山西 太原 030619)

0 引 言

随着互联网公司 (如Google, 360, 百度, Netflix) 的快速发展, 搜索引擎也逐渐在普及, 使得数据的收集越来越方便, 数据量猛增, 大数据概念被越来越广泛提及, 而这些大量的数据蕴含着非常重要的信息. 所以, 如果能充分运用好这些数据信息, 将会为自身的发展, 公司的利益和社会的进步带来巨大的推动作用. 既然大数据对社会和人们的实际生活有重大的价值, 那么就会出现因各种原因而导致的整体数据不完整的现象, 研究如何将这些缺失的数据补充完整也将变得越来越重要. 这就是矩阵填充问题.

矩阵填充问题近几年发展迅速, 它主要研究的实际问题是如何在矩阵元素缺失的情况下通过已知的部分元素精确地填充这些缺失元素， 从而将原矩阵填充完整. 著名的Netflix推荐系统[1]就是矩阵填充问题的一个典型应用. 在图像恢复[2], 机器学习[3], 计算机视觉[4], 控制[5]等信息科学领域矩阵填充发挥着重要的作用, 并且其在系统识别[6], 频谱感知[7], 多媒体编码和通信[8]等方面也有应用.

对于矩阵填充问题有如下模型,

minrank(Z)

s.t.PΩ(Z)=PΩ(Z0),

(1)

式中：Z∈Rn1×n2；Z0∈Rn1×n2且Z0是采样矩阵；Ω⊂{1,…,n1}×{1,…,n2} 为已知的样本元素下标集；PΩ为集合Ω的正交投影. 该问题的意义在于将缺失的元素填充后使得矩阵的秩尽可能的低. 近年来, 在已知矩阵秩r的前提下, 人们提出许多算法, 如黎曼信赖域法(Riemannian trust-region method, 简称 RTRMC[9])， OptSpace 算法[10], ADMiRA算法[11].

(2)

为求解模型(2) , 人们提出一种交替最……